4鹿児島大学 2016年 数学 第4問解答・解説

以下、$\log x$ は自然対数を表す。

(1) $x>0$ であり、$t=\log x$ とおくと、$$f(x)=0\text{すなわち} t^2-t=t(t-1)=0\text{すなわち} t=0,1.$$ よって、$x=e^0=1$ または $x=e^1=e$ である。

(2) 対数関数の微分より、$$\displaystyle f'(x)=2\log x\cdot\frac1x-\frac1x=\frac{2\log x-1}{x}.$$ さらに、$$\displaystyle f''(x)=\frac{2/x\cdot x-(2\log x-1)}{x^2}=\frac{3-2\log x}{x^2}.$$

$x>0$ では分母は正である。$f'(x)=0$ となるのは $x=\sqrt e$ であり、$0<x<\sqrt e$ では $f'(x)<0$、$x>\sqrt e$ では $f'(x)>0$ である。したがって $0<x<\sqrt e$ で減少し、$x>\sqrt e$ で増加する。$\displaystyle f(\sqrt e)=\frac14-\frac12=-\frac14$ なので、$x=\sqrt e$ で最小値 $\displaystyle -\frac14$ をとる。

$f''(x)=0$ となるのは $x=e^{3/2}$ であり、$0<x<e^{3/2}$ では $f''(x)>0$、$x>e^{3/2}$ では $f''(x)<0$ である。よって前者で下に凸、後者で上に凸となり、変曲点は $\displaystyle \bigl(e^{3/2},f(e^{3/2})\bigr)=\bigl(e^{3/2},\frac34\bigr)$ である。

$x\to0+$ のとき $\log x\to-\infty$ だから $f(x)=(\log x)^2-\log x\to\infty$。また $x\to\infty$ のとき $\log x\to\infty$ より $f(x)\to\infty$。以上から、グラフは $x=1,e$ で$x$軸と交わり、$x=\sqrt e$ で最小となる。$0$ に近づく側と $\infty$ に向かう側でともに上昇し、$e^{3/2}$ で下に凸から上に凸に変わる概形である。

(3) $0<\log x<1$ は $1<x<e$ と同値であり、この区間では $f(x)<0$。したがって囲まれた部分の面積 $S$ は$$\displaystyle S=-\int_1^e f(x)\,dx=\int_1^e\bigl(\log x-(\log x)^2\bigr)\,dx.$$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\{x((\log x)^2-3\log x+3)\}= (\log x)^2-\log x$ より、$$S=-\left[x\bigl((\log x)^2-3\log x+3\bigr)\right]_1^e=-\{e-3\}=3-e.$$