4山口大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1) $a>0$ より、$x=0$ の近くでは $x<a$ であるから $f(x)=e^a-e^x$ である。したがって $$P=(0,e^a-1),\qquad f'(0)=-1$$ となる。よって、点 $P$ における接線は $$l:\ y=e^a-1-x$$ である。

(2) $b>a$ なので、$Q$ では $f(b)=e^b-e^a$ である。$Q$ は $l$ 上にもあるから $$e^b-e^a=e^a-1-b,\qquad e^b+b=2e^a-1.$$ $c=b-a$ とおくと $c>0$ であり、この等式を $e^a$ で割って $$\displaystyle e^c+\frac{a+c}{e^a}=2-e^{-a}$$ を得る。左辺の第2項は正であるから $1<e^c<2$、したがって $0<c<\log 2$ である。この範囲から $c$ は有界であり、仮定された極限より $$\displaystyle \frac{a+c}{e^a}=\frac{a}{e^a}+\frac{c}{e^a}\longrightarrow 0, \qquad e^{-a}\longrightarrow 0.$$ ゆえに $e^c\to2$ となる。対数関数の連続性を用いれば $$\displaystyle \lim\limits _{a\to\infty}(b-a)=\lim\limits _{a\to\infty}c=\log 2.$$ (3) $0\le x\le a$ では $$l-f(x)=e^x-x-1\ge0$$ である。実際、$e^x-x-1$ は $x\ge0$ で増加し、$x=0$ で $0$ となる。また $a\le x\le b$ では $$l-f(x)=2e^a-1-x-e^x$$ であり、これは $x$ について減少し、$x=b$ で $0$ となる。したがって $$\displaystyle S=\int_0^a(e^x-x-1)\,dx+\int_a^b(2e^a-x-1-e^x)\,dx.$$ $c=b-a$ とすると、積分を計算し、$e^b+b=2e^a-1$ を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} S&=e^a-1-a-\frac{a^2}{2}+(2e^a-1)c-\frac{b^2-a^2}{2}-e^b+e^a\\ &=2e^a c-\frac{b^2}{2}. \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle \frac{S}{e^a}=2c-\frac{b^2}{2e^a}.$$ ここで $0<c<\log 2$ なので $b=a+c$ であり、$b^2/e^a\to0$ である。実際、与えられた極限に $t=a/2$ を代入すると $$\displaystyle \frac{a^2}{e^a}=4\left(\frac{a/2}{e^{a/2}}\right)^2\longrightarrow0,$$ また $c$ は有界だから $2ac/e^a\to0$ および $c^2/e^a\to0$ である。したがって (2) の結果より $$\displaystyle \lim\limits _{a\to\infty}\frac{S}{e^a}=2\lim\limits _{a\to\infty}c=2\log2.$$