4山形大学 2015年 数学 第4問解答・解説

(1) 曲線 $y=e^x$ の導関数は $e^x$ であるから、$A(a,e^a)$ における接線 $l$ は $$y-e^a=e^a(x-a),\qquad y=e^a(x-a+1)$$ である。$x$ 軸との交点では $y=0$ だから $b=a-1$ である。

(2) 接線は $y=e^a(x-b)$ と書ける。$h(x)=e^x-e^a(x-b)$ とおくと、$h(a)=0$ であり、$x<a$ では $$h'(x)=e^x-e^a<0.$$ したがって $b\le x<a$ で $h(x)>h(a)=0$ となり、曲線は接線の上側にある。よって $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_b^a\{e^x-e^a(x-b)\}\,dx\\ &=e^a-e^b-\frac{e^a(a-b)^2}{2} =e^a\left(\frac12-\frac1e\right), \end{aligned}$$ ただし $a-b=1$ と $b=a-1$ を用いた。

(3) $t=\log y$ と置くと $y=e^t$, $dy=e^t\,dt$ であり、積分区間は $b\le t\le a$ となる。部分積分を用いて $$\displaystyle \int te^t\,dt=te^t-\int e^t\,dt=e^t(t-1),\qquad\int t^2e^t\,dt=t^2e^t-2e^t(t-1)=e^t(t^2-2t+2)$$ を得る。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{e^b}^{e^a}(\log y)^2\,dy &=\int_b^a t^2e^t\,dt\\ &=\left[e^t(t^2-2t+2)\right]_b^a\\ &=e^a(a^2-2a+2)-e^{a-1}(a^2-4a+5). \end{aligned}$$

(4) $a>1$ より $b=a-1>0$ であり、領域 $D$ は $y$ 軸の右側にある。接線は $x=b+y/e^a$ と表せる。$0\le y\le e^b$ では領域の左右端は $x=b$ と $x=b+y/e^a$、$e^b\le y\le e^a$ では $x=\log y$ と $x=b+y/e^a$ である。各高さの断面を $y$ 軸のまわりに回転すると円環（$y=0$ では内外半径がともに $b$ となり断面積は0）となるので、 $$\displaystyle V=\pi\int_0^{e^b}\left\{\left(b+\frac{y}{e^a}\right)^2-b^2\right\}dy +\pi\int_{e^b}^{e^a}\left\{\left(b+\frac{y}{e^a}\right)^2-(\log y)^2\right\}dy.$$ (3) の積分値を $J$ とすると、外半径側の積分をまとめて $$\displaystyle \begin{aligned} \frac V\pi &=\int_0^{e^a}\left(b+\frac{y}{e^a}\right)^2dy-b^2e^b-J\\ &=e^a\left(b^2+b+\frac13\right)-b^2e^b-J. \end{aligned}$$ ここに $J=e^a(a^2-2a+2)-e^b(b^2-2b+2)$ と $b=a-1$ を代入すると $$\displaystyle V=\pi e^a\left(a-\frac53+\frac{4-2a}{e}\right)$$ となる。

(5) (2), (4) より $$\displaystyle \frac{V}{ae^a}=\pi\left(\frac{a-5/3}{a}+\frac{4-2a}{ae}\right) \longrightarrow \pi\left(1-\frac2e\right).$$ また $S/e^a=1/2-1/e>0$ なので $$\displaystyle \frac{V}{aS}=\frac{V/(ae^a)}{S/e^a}\longrightarrow \frac{\pi(1-2/e)}{1/2-1/e}=2\pi.$$