1山形大学 2015年 数学 第1問解答・解説

問1　 $F(x)=x|1-|x||$ とおく。絶対値の中は $|x|$ だけで決まるので $F(-x)=-F(x)$。また、$x\ge0$ では $$F(x)=\begin{cases}x(1-x),&0\le x\le1,\\x(x-1),&x\ge1.\end{cases}$$ 前半は頂点 $(1/2,1/4)$ をもつ下に凸の二次関数で、値域は $0\le F(x)\le1/4$。後半の $x(x-1)$ は $x\ge1$ の範囲で0から無限大へ単調に増加する。従って $k>0$ の場合、前半からの解は $0<k<1/4$ なら2個、$k=1/4$ なら1個、$k>1/4$ なら0個であり、後半からは常に1個である。$k=0$ の解は $x=-1,0,1$ の3個。奇関数性により負の $k$ でも個数は $(-k)$ と同じだから $$\displaystyle N(k)=\begin{cases}3,&|k|<\frac14,\\2,&|k|=\frac14,\\1,&|k|>\frac14.\end{cases}$$

問2　 玉の総数を $T=a+b+c$ とおく。(i)より $a/T=1/2$、従って $T=2a$ および $a=b+c$。

(ii) 同時に2個を取り出す方法は ${2a\choose2}=a(2a-1)$ 通りで、赤白1個ずつの選び方は $ab$ 通りだから $$\displaystyle \frac{ab}{{2a\choose2}}=\frac17\quad\text{より}\quad7b=2a-1.$$

(iii) 同様に $$\displaystyle \frac{abc}{{2a\choose3}}=\frac6{35},\qquad {2a\choose3}=\frac{2a(2a-1)(a-1)}3.$$ 従って $35bc=4(2a-1)(a-1)$。これに $2a-1=7b$ を代入し、$b>0$ より $5c=4(a-1)$。さらに $a=b+c$ だから $c=4b-4$。一方、$2a-1=7b$ と $a=b+c$ から $2c-1=5b$。両式を合わせると $$2(4b-4)-1=5b\quad\text{より}\quad3b=9\quad\text{より}\quad b=3,\ c=8,\ a=11.$$ 実際、このとき総数は22個で、3条件の確率は $11/22=1/2$、$33/{22\choose2}=1/7$、$264/{22\choose3}=6/35$ となる。よって $$\boxed{(a,b,c)=(11,3,8)}.$$