2信州大学 2017年 数学 第2問解答・解説

全組数は $\displaystyle \binom{10}{2}=45$。曲線を $y=A(x-p)(x-q)$ とおくと $Apq=2pq$ より $A=2$。 (1) 頂点の横座標 $(p+q)/2$ が整数であるのは両数が同じ偶奇のとき。組数 $\displaystyle 2\binom52=20$ より確率 $4/9$。 (2) $d=q-p$ とおくと面積は $\displaystyle \int_0^d2t(d-t)dt=d^3/3$。整数になるのは $d$ が3の倍数のときである。$d=3,6,9$ の組数は7,4,1なので確率 $12/45=4/15$。 (3) 原点を通る直線 $y=mx$ との交点式は $2x^2-\{2(p+q)+m\}x+2pq=0$。 接線条件は判別式0なので $$m=-2(p+q)\pm4\sqrt{pq}.$$ 両傾きが整数なら $\sqrt{pq}$ は有理数。有理数の平方が整数ならその有理数も整数である。実際，既約分数 $u/v$ の平方が整数なら $v^2$ が $u^2$ を割るが互いに素なので $v=1$。 従って必要十分条件は $pq$ が平方数であること。1〜10を平方因子を取り除いた部分で分類すると，同群の複数要素は $\{1,4,9\}$ と $\{2,8\}$ だけ。組数は $\displaystyle \binom32+1=4$，確率は $4/45$。