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信州大学／2017年度

信州大学 2017年 数学 第7問解答・解説

数列極限

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1問題

信州大学2017年度第7問

数列 {a_n} を条件 a1=−1,a2=3,an+2=5an+1−6an(n=1,2,… )a_1=-1,\quad a_2=3,\quad a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n\quad(n=1,2,\dots) によって定める。このとき，以下の問いに答えよ。(1) a_{n+2}-p a_{n+1}=q(a_{n+1}-p a_n) がすべての n に対して成り立つような p, q を求めよ。(2) 数列 {a_n} の一般項を求めよ。(3) r を正の実数とし，数列 {b_n} を条件 b1=r1a1,bn+1bn=ranan+1\displaystyle b_1=r\frac{1}{a_1},\quad \frac{b_{n+1}}{b_n}=r\frac{a_n}{a_{n+1}} によって定める。このとき，極限 lim_{n→∞} b_n を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (p,q)=(2,3) (p,q)=(2,3)\space{} または (3,2),an=−6⋅2n−1+5⋅3n−1,lim⁡n→∞bn={0(0<r<3),3/5(r=3),+∞(r>3).\displaystyle \space{}(3,2),\qquad a_n=-6\cdot2^{n-1}+5\cdot3^{n-1}, \quad \lim\limits _{n\to\infty}b_n= \begin{cases} 0 &(0<r<3),\\ 3/5 &(r=3),\\ +\infty &(r>3). \end{cases}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

漸化式を用いると an+2−pan+1=(5−p)an+1−6an.a_{n+2}-pa_{n+1}=(5-p)a_{n+1}-6a_n. これが qan+1−pqanq a_{n+1}-pq a_n と等しい。U=5−p−q, V=pq−6U=5-p-q,\ V=pq-6 とおくと、(a2,a1)=(3,−1)(a_2,a_1)=(3,-1)、(a3,a2)=(21,3)(a_3,a_2)=(21,3) より 3U−V=0, 21U+3V=03U-V=0,\ 21U+3V=0 である。第1式を3倍して第2式に加えると 30U=030U=0 なので U=0U=0、さらに V=0V=0 となり、係数がそれぞれ一致する。よって q=5−pq=5-p、pq=6pq=6 であり、(p,q)=(2,3),(3,2)(p,q)=(2,3),(3,2)。

特性方程式は (λ−2)(λ−3)=0(\lambda-2)(\lambda-3)=0 だから an=A2n−1+B3n−1.a_n=A2^{n-1}+B3^{n-1}. 初期条件から A+B=−1A+B=-1、2A+3B=32A+3B=3、従って A=−6,B=5A=-6,B=5。ゆえに an=−6⋅2n−1+5⋅3n−1.a_n=-6\cdot2^{n-1}+5\cdot3^{n-1}.

この式を an=3n−1{5−6(2/3)n−1}a_n=3^{n-1}\{5-6(2/3)^{n-1}\} と書くと、括弧は n=1n=1 で −1-1、n≧2n\ge2 で正である。よって全ての an≠0a_n\ne0。初項と比の条件から帰納的に bn=rn/anb_n=r^n/a_n なので bn=3(r/3)n5−6(2/3)n−1.\displaystyle b_n=\frac{3(r/3)^n}{5-6(2/3)^{n-1}}. 分母は 55 に収束する。したがって極限は lim⁡n→∞bn={0(0<r<3),3/5(r=3),+∞(r>3).\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}b_n=\begin{cases}0& (0<r<3),\\[2pt]3/5&(r=3),\\[2pt]+\infty&(r>3).\end{cases}

答え

(p,q)=(2,3) または (3,2),an=−6⋅2n−1+5⋅3n−1,(p,q)=(2,3)\ \text{または}\ (3,2),\qquad a_n=-6\cdot2^{n-1}+5\cdot3^{n-1}, lim⁡n→∞bn={0(0<r<3),3/5(r=3),+∞(r>3).\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}b_n= \begin{cases} 0 &(0<r<3),\\ 3/5 &(r=3),\\ +\infty &(r>3). \end{cases}

この問題で使う考え方

  • 漸化式
  • 数列の極限

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