11千葉大学 2017年 数学 第11問解答・解説

(1), (2)

$$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac1{a_k}$$ とおく。まず $S_1=1/2$ なので、与えられた漸化式から $$\displaystyle a_2=1+\frac{1}{1-S_1}=3=a_1^2-a_1+1.$$ $n\ge2$ では、与えられた式を添字 $n-1$ で用いると $$\displaystyle a_n-1=\frac{1}{1-S_{n-1}},\qquad 1-S_{n-1}=\frac1{a_n-1}.$$ よって $$\displaystyle 1-S_n=1-S_{n-1}-\frac1{a_n} =\frac1{a_n-1}-\frac1{a_n} =\frac1{a_n(a_n-1)}.$$ これを与えられた漸化式に代入して $$\displaystyle a_{n+1}=1+\frac1{1-S_n}=1+a_n(a_n-1)=a_n^2-a_n+1\qquad(n\ge2).$$ $n=1$ も先に確かめたので、この関係はすべての $n\ge1$ で成り立つ。従って $$a_2=3,\qquad a_3=7,\qquad a_4=43,\qquad \boxed{a_5=1807}.$$

(3)

$a_1=2$ であり、$a_n\ge2$ ならば漸化式から $a_{n+1}=1+a_n(a_n-1)\ge3$ となるので、帰納的に $a_n\ge2$ である。さらに $$a_{n+1}-a_n=(a_n-1)^2\ge1$$ だから $a_n\ge n+1$ であり、$a_n\to\infty$ となる。

上で得た部分和の関係 $1-S_n=1/[a_n(a_n-1)]$ は $n\ge2$ で成り立ち、$n=1$ についても $1-S_1=1/2=1/[a_1(a_1-1)]$ である。従って $$\displaystyle S_n=1-\frac1{a_n(a_n-1)}\longrightarrow1.$$ $S_n$ は級数の第 $n$ 部分和なので、級数は収束し、その和は $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\sum\limits _{k=1}^{\infty}\frac1{a_k}=1}$$ である。