東北大学 2019年数学第3問解答・解説

数列極限

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1問題

東北大学2019年度第3問

a を実数とし, 数列 $\{x_{n}\}$ を次の漸化式によって定める。

$x _ {1} = a, \quad x _ {n + 1} = x _ {n} + x _ {n} ^ {2} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

(1) a > 0 のとき, 数列 $\{x_{n}\}$ が発散することを示せ。

(2) -1 < a < 0 のとき, すべての正の整数 n に対して -1 < $x_n$ < 0 が成り立つことを示せ。

(3) -1 < a < 0 のとき, 数列 $\{x_{n}\}$ の極限を調べよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $a>0\Longrightarrow x_n\to+\infty.\qquad$ (2) $-1<a<0\Longrightarrow -1<x_n<0\quad(\forall n\ge1).\qquad$ (3) $-1<a<0\Longrightarrow x_n\to0.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

（1） $a>0$ とする。 $x_1=a>0$ であり、 $x_n\ge a$ なら $x_{n+1}=x_n+x_n^2\ge x_n+a^2$ だから、帰納的に $x_n\ge a+(n-1)a^2\quad(n\ge1).$ 右辺は $n\to\infty$ で $+\infty$ に発散するので、 $x_n\to+\infty$ 。（2） $-1<a<0$ とする。 $n=1$ では題意の範囲にある。 $-1<x_n<0$ と仮定すると、 $1+x_n>0$ なので $x_{n+1}=x_n(1+x_n)<0$ 。また $x_{n+1}=x_n+x_n^2>x_n>-1$ 。よって $-1<x_{n+1}<0$ であり、数学的帰納法によりすべての正整数 $n$ で成立する。（3）(2)より $-1<x_n<0$ であり、 $x_{n+1}-x_n=x_n^2>0$ だから $\{x_n\}$ は単調増加で上に有界である。したがって収束する。極限を $L$ とすると漸化式の両辺で極限をとって $L=L+L^2$ となるので $L=0$ 。

この問題で使う考え方

漸化式
数学的帰納法
数列の極限

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