4東北大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(1) $x^2+1$ で割った余りを考えると $x^2\equiv-1$ である。したがって $x^5\equiv x$ だから $$[2x^2+x+3]=x+1,\qquad [x^5-1]=x-1.$$ また、 $$[[2x^2+x+3][x^5-1]]=[(x+1)(x-1)]=[x^2-1]=-2.$$

(2) 多項式の除法により、ある多項式 $Q,S$ と次数が $2$ 未満の余り $r,s$ を用いて $$A=(x^2+1)Q+r,\qquad B=(x^2+1)S+s$$ と書ける。このとき $r=[A],\ s=[B]$ であり、 $$AB=(x^2+1)\bigl((x^2+1)QS+Qs+Sr\bigr)+rs.$$ よって $AB$ を $x^2+1$ で割った余りは $rs$ を同じ式で割った余りに等しいから、 $$[AB]=[rs]=[[A][B]].$$

(3) 展開して $x^2\equiv-1$ と二倍角の公式を用いれば、 $$[(x\sin\theta+\cos\theta)^2]=[-\sin^2\theta+2x\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta]=x\sin2\theta+\cos2\theta.$$

(4) $c=b^2-a^2,\ d=2ab$ とおくと、 $$[(ax+b)^4]=[(c+dx)^2]=c^2-d^2+2cdx.$$ これが定数多項式 $-1$ に等しいための条件は $$2cd=0,\qquad c^2-d^2=-1.$$ もし $d=0$ なら $c^2=-1$ となり、$c$ が実数であることに反する。したがって $c=0$ であり、$d^2=1$ である。すなわち $b^2=a^2$ と $4a^2b^2=1$ から $a^2=b^2=1/2$ を得る。逆に $a^2=b^2=1/2$ なら $c=0,\ d=\pm1$ で上の余りは $-1$ となる。ゆえに符号を独立に選ぶ全解は $$\displaystyle (a,b)=\left(\frac{\varepsilon}{\sqrt2},\frac{\delta}{\sqrt2}\right),\qquad \varepsilon,\delta\text{ はそれぞれ }-1\text{ または }1.$$