4岐阜大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(1) $p(t)=32t^3-16t+1$ とおく。値を計算すると $$\displaystyle p(-1)=-15<0,\quad p\left(-\frac12\right)=5>0,\quad p(0)=1>0,\quad p\left(\frac12\right)=-3<0,\quad p(1)=17>0.$$ 多項式 $p$ は連続なので、中間値の定理より、$\displaystyle -1<t<-\frac12$、$\displaystyle 0<t<\frac12$、$\displaystyle \frac12<t<1$ の各範囲のそれぞれに少なくとも1つ $p(t)=0$ の解がある。これらの区間は互いに交わらないから、得られる解は3つとも異なる。一方、3次方程式は3個を超える異なる実数解をもたない。よって、$-1\le t\le1$ に3つの異なる実数解をもつ。

(2) 二倍角の公式を用いると $$\begin{aligned} \sin4x&=2\sin2x\cos2x\\ &=2(2\sin x\cos x)(1-2\sin^2x)\\ &=(4\sin x-8\sin^3x)\cos x. \end{aligned}$$ したがって、示された等式が成り立つ。

(3) $p(t)=32t^3-16t+1$ とする。(2)より $$\begin{aligned} 4\sin4x+\sin x &=4(4\sin x-8\sin^3x)\cos x+\sin x\\ &=\sin x\{16\cos x-32\sin^2x\cos x+1\}\\ &=\sin x\{32\cos^3x-16\cos x+1\}\\ &=\sin x\,p(\cos x). \end{aligned}$$ したがって、$0\le x\le\pi$ での解は、$\sin x=0$ となる $x=0,\pi$ と、$0<x<\pi$ で $p(\cos x)=0$ となるものに分けられる。(1)の3つの根は $p(-1)\ne0, p(1)\ne0$ よりすべて $-1<t<1$ の範囲にあり、余弦関数は $0<x<\pi$ と $-1<t<1$ の範囲の一対一対応である。ゆえに、各根に対応する $x$ が1つずつあり、内部に解が3つある。端点2つを加えて、解は全部で $5$ 個。

(4) $f(x)=\cos4x+\cos x$ とすると $$f'(x)=-4\sin4x-\sin x=-\sin x\,p(\cos x)$$ である。(1)の根を $r_1<r_2<r_3$ とおく。これらはすべて $-1<t<1$ の範囲にあり、$p(t)=32(t-r_1)(t-r_2)(t-r_3)$ である。したがって、$t$ を大きい方から動かしたときの $p(t)$ の符号は、$+,-,+,-$ と順に変わる。

$x$ が $0$ から $\pi$ へ増えると $\cos x$ は $1$ から $-1$ へ単調に減る。また $0<x<\pi$ では $\sin x>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は、3つの臨界点を通る順に $-,+,-,+$ と変わる。よって、最初の臨界点（$\cos x=r_3$）と最後の臨界点（$\cos x=r_1$）で $f'$ は負から正へ変わり、これら2点が極小点である。中央の点では正から負へ変わるので極大点である。さらに、$x=0$ の直後では $p(\cos x)>0$ で $f'(x)<0$、$x=\pi$ の直前では $p(\cos x)<0$ で $f'(x)>0$ だから、端点も極小点ではない。したがって、求める個数は $2$ 個。