3岐阜大学 2019年 数学 第3問解答・解説

$$\begin{aligned}\alpha&=\sqrt2+(1+\sqrt2)i.\\\alpha^2&=\{2-(1+\sqrt2)^2\}+2\sqrt2(1+\sqrt2)i\\&=(-1-2\sqrt2)+(4+2\sqrt2)i.\\\alpha^4&=(-1-2\sqrt2)^2-(4+2\sqrt2)^2+2(-1-2\sqrt2)(4+2\sqrt2)i\\&=(-15-12\sqrt2)+(-24-20\sqrt2)i.\\\alpha^4+2\alpha^2+16\alpha+17&=0+0i,\text{ したがって、実部と虚部はともに }0.\\\alpha+\bar\alpha&=2\sqrt2,\quad \alpha\bar\alpha=2+(1+\sqrt2)^2=5+2\sqrt2.\\x^2+px+q&=(x-\alpha)(x-\bar\alpha)=x^2-2\sqrt2 x+5+2\sqrt2,\\&\text{したがって}\quad p=-2\sqrt2,\quad q=5+2\sqrt2.\\(x^2+px+q)(x^2+rx+s)&=x^4+(p+r)x^3+(q+s+pr)x^2+(ps+qr)x+qs.\\p+r=0&\quad\text{ならば}\quad r=2\sqrt2,\quad q+s+pr=2\quad\text{ならば}\quad s=5-2\sqrt2.\\&ps+qr=16,\quad qs=17,\text{したがって、因数分解すると}\\x^4+2x^2+16x+17&=(x^2-2\sqrt2 x+5+2\sqrt2)(x^2+2\sqrt2 x+5-2\sqrt2).\\&=(x-\alpha)(x-\bar\alpha)(x^2+2\sqrt2 x+5-2\sqrt2).\\\Delta&=(2\sqrt2)^2-4(5-2\sqrt2)=8\sqrt2-12=-4(3-2\sqrt2)=-4(\sqrt2-1)^2.\\x&=-\sqrt2\pm(\sqrt2-1)i\quad\text{（第2の二次方程式の解）}.\\&\text{したがって}\quad x=\sqrt2\pm(1+\sqrt2)i,\quad x=-\sqrt2\pm(\sqrt2-1)i.\end{aligned}$$