1和歌山県立医科大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) $P(x)$ は3次の monic 多項式で、$x^2+ax+b$ で割り切れるから、ある実数 $c$ を用いて $$P(x)=(x^2+ax+b)(x+c)$$ と書ける。二次因子の2根が実数なら、残りの根 $-c$ も実数である。絶対値が等しい実数は高々2種類（$r$ と $-r$）しかないので、異なる3根という条件に反する。したがって二次因子は実数でない共役な2根をもち、 $$a^2-4b<0$$ である。この2根の積は $b$ であり、共役な2根の積はその絶対値の2乗だから、共通の絶対値の2乗は $b$ である。よって $b>0$。残りの根 $-c$ も絶対値が等しいため、$c^2=b$、すなわち $c=\sqrt b$ または $c=-\sqrt b$ である。

逆に $b>0$ かつ $a^2<4b$ なら、二次因子の根は異なる非実共役根で、その絶対値は $\sqrt b$ である。$c=\pm\sqrt b$ とすれば第三の根 $-c$ は実数で絶対値が $\sqrt b$ となり、三根はすべて異なる。したがって求める条件と多項式は $$b>0,\quad a^2<4b,\qquad P(x)=(x^2+ax+b)(x+\sqrt b)\quad\text{または}\quad P(x)=(x^2+ax+b)(x-\sqrt b)$$ である。$a,b$ だけではこの2つの符号は決まらない。

(2) $Q(x)$ は実係数なので、$5+4i$ が根ならその共役 $5-4i$ も根である。点 $5+4i$ と $5-4i$ を通る円の中心は、それらを結ぶ線分の垂直二等分線上、すなわち実軸上にある。中心を $(u,0)$ とすると、同じ円周上にある点 $-3$ と $5+4i$ までの距離が等しいから $$(u+3)^2=(u-5)^2+4^2$$ であり、これを解いて $u=2$ を得る。半径は $\sqrt{(5-2)^2+4^2}=5$ だから、円の方程式は $$(x-2)^2+y^2=25$$ である。この円と実軸との交点の $x$ 座標は $x=-3,7$ である。既知の実根が $-3$ なので、残る実根は $7$。したがって他の2根は $5-4i,7$ である。