4和歌山県立医科大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1)　 $c=\cos t,\ s=\sin t$ とおく。$0\le t\le\pi$ より $s\ge0$ であり、 $$\cos3t=4c^3-3c,\qquad \sin3t=s(4c^2-1)$$ である。点 $P,Q$ の位置ベクトルの成分式から $$(c-1)\sin3t-s(1+\cos3t) =(c-1)s(4c^2-1)-s(1+4c^3-3c) =2sc(1-2c)$$ を得る。したがって $O,P,Q$ が一直線上にある条件は $s=0$、$c=0$、または $\displaystyle c=\frac12$ である。範囲 $0\le t\le\pi$ において、順に $t=0,\pi$、$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$、$\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$ となるから、 $$\displaystyle t=0,\ \frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{2},\ \pi$$ である。 　 (2)　 3点が一直線上にないとき、$P,Q$ はともに $O$ と異なるので $$\displaystyle \sin\angle POQ=\frac{\left|(c-1)\sin3t-s(1+\cos3t)\right|}{OP\cdot OQ}$$ である。また、 $$OP^2=(c-1)^2+s^2=2(1-c),$$ $$OQ^2=(1+\cos3t)^2+\sin^2 3t =2(1+\cos3t)=2(1+c)(2c-1)^2.$$ ここで $s=\sqrt{1-c^2}$ だから $OP\cdot OQ=2s|2c-1|$ となる。一方、上で求めた成分の積の差の絶対値は $2s|c||2c-1|$ である。非共線条件の下では $s\ne0,\ 2c-1\ne0$ なのでこれらを約分でき、 $$\sin\angle POQ=|c|=|\cos t|$$ を得る。 　 (3)　 グラフは $y=|\cos t|$ のうち、 $$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2},\quad t\ne\frac{\pi}{3}, \qquad \frac{\pi}{2}<t<\pi$$ に当たる部分である。すなわち前半では $y=\cos t$、後半では $y=-\cos t$ の曲線を描き、 $\displaystyle (0,1),(\frac{\pi}{3},\frac12),(\frac{\pi}{2},0),(\pi,1)$ はすべて白丸にする。これらの $t$ では角が定義されないか、または(2)の非共線条件を満たさない。

(4)　 $PQ=OP$ は二乗しても同値である。座標の距離の式を展開すると $$PQ^2-OP^2=OQ^2-2\{(c-1)(1+\cos3t)+s\sin3t\}.$$ 中括弧内は $$(c-1)(1+4c^3-3c)+s^2(4c^2-1)=2(1-c^2)(2c-1)$$ であるから、 $$PQ^2-OP^2 =2(c+1)(2c-1)^2-4(1-c^2)(2c-1) =2(c+1)(2c-1)(4c-3).$$ よって $PQ=OP$ なら $\displaystyle c=-1,\frac12,\frac34$ である。前二つはそれぞれ $\displaystyle t=\pi,\frac{\pi}{3}$ で、いずれも共線の場合だから、条件を満たすのは $\displaystyle c=\frac34$ のときだけである。このとき $$\displaystyle s=\sqrt{1-c^2}=\frac{\sqrt7}{4},\qquad \text{面積}=\frac12\left|2sc(1-2c)\right| =sc(2c-1) =\frac{3\sqrt7}{32}.$$