2名古屋大学 2016年 数学 第2問解答・解説

円Cの式を極座標$P=(r\cos\theta,r\sin\theta)$に代入すると $r^2-2r\cos\theta=0$。$y>0$より$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$かつ$r>0$なので $r=2\cos\theta$。従って $P=(2\cos^2\theta,2\sin\theta\cos\theta)$、$|OP|=2\cos\theta$。

(2) Pの方向の単位ベクトルを $e=(\cos\theta,\sin\theta)$、これを反時計回りに90度回転した $n=(-\sin\theta,\cos\theta)$ とする。円Dの中心を $C=(-2,0)$ と書けば、$Q=C+7v,\quad |v|=1$。三角形の面積は、底辺 |OP| と高さ $|n\cdot Q|$ の積の半分である。$n\cdot C=2\sin\theta$ であり、$n\cdot(7v)$ の最大値は 7、その最大は $v=n$ のときに実現する。ここでは $2\sin\theta<7$ なので絶対値も最大になり、$Q=(-2-7\sin\theta,7\cos\theta)$、面積最大値は $\displaystyle \frac{|OP|(7+2\sin\theta)}{2}=\cos\theta(7+2\sin\theta)$。

(3) 円Cと円Dはx軸対称で面積も反射で変わらないので、上半分で最大を探せばよい。x軸上の端の点では面積は0または7である。上半分では $s=\sin\theta\ (0\leq s\leq1)$ とおくと面積最大値候補は $g(s)=(7+2s)\sqrt{1-s^2}$。微分すると $\displaystyle g^{\prime}(s)=\frac{2-7s-4s^2}{\sqrt{1-s^2}}$。分子は区間内で単調減少し、$\displaystyle s=\frac{1}{4}$で符号が正から負に変わるため、ここで最大となる。値は $\displaystyle (7+\frac{1}{2})\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{15\sqrt{15}}{8}$ であり、端の値$7,0$より大きい。