3福井大学 2012年 数学 第3問解答・解説

(1) 曲線 $C:y=e^{-x}$ の点 $A(a,e^{-a})$ における接線の傾きは $-e^{-a}$ なので、法線 $m$ の傾きは $e^a>0$ である。法線が正の $x$ 軸となす角を $\varphi$ とすれば、$0<\varphi<\pi/2$、$\tan\varphi=e^a$ であり、鉛直線 $l_1$ との鋭角は $\theta=\pi/2-\varphi$。従って $$\boxed{\tan\theta=e^{-a}}.$$

(2) 法線方向の単位ベクトルと鉛直方向のベクトルをそれぞれ $$\displaystyle \boldsymbol u=\frac{(1,e^a)}{\sqrt{1+e^{2a}}},\qquad \boldsymbol v=(0,1)$$ とする。$\boldsymbol v$ を法線方向の成分とそれに垂直な成分に分解すると、鏡映では後者の符号だけが変わる。したがって、鏡映後の方向ベクトルは $$\displaystyle 2(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol u)\boldsymbol u-\boldsymbol v =\left(\frac{2e^a}{1+e^{2a}},\frac{e^{2a}-1}{1+e^{2a}}\right).$$ 第1成分は正なので、$l_2$ の傾きは $$\displaystyle \frac{e^{2a}-1}{2e^a}=\frac{e^a-e^{-a}}2.$$ $A$ は鏡映の軸 $m$ 上にあり、鏡映で動かない。従って $l_2$ は $A$ を通り、 $$\displaystyle \boxed{l_2:\ y=e^{-a}+\frac{e^a-e^{-a}}2(x-a)}.$$

(3) $P$ の $y$ 座標を $F(a)$ とおくと $$\displaystyle F(a)=e^{-a}-\frac a2(e^a-e^{-a}).$$ 微分して整理すると $$\displaystyle F'(a)=-\frac{a+1}{2}(e^a+e^{-a}).$$ $e^a+e^{-a}>0$ だから、$a<-1$ では $F'(a)>0$、$a>-1$ では $F'(a)<0$。従って実数全体での最大値は $a=-1$ のときに限り得られ、 $$\displaystyle \boxed{F(-1)=\frac{e+e^{-1}}2},\qquad \boxed{a=-1}.$$

(4) $$\displaystyle B=\frac{e+e^{-1}}2,\qquad D=\frac{e-e^{-1}}2$$ とおくと、$1<B<e$、$D>0$、$e-B=D$ である。(3)の値 $a=-1$ に対し、$A=(-1,e)$、$P=(0,B)$、直線 $AP$ は $y=B-Dx$ と表せる。

$e^{-x}$ は下に凸なので、$-1\le x\le0$ ではグラフは $(-1,e)$ と $(0,1)$ を結ぶ線分以下にある。さらに $B>1$ だから、その線分は $AP$ 以下にある。よって指定された領域は、$-1\le x\le0$ において曲線と $AP$ の間の部分である。

高さ $y$ で切った回転体の断面を考える。曲線は $x=-\log y$、直線は $x=(B-y)/D$ と表される。 $1\le y\le B$ では、領域は $-\log y\le x\le0$ であり、回転後は半径 $\log y$ の円盤となる。 $B\le y\le e$ では、領域は $-\log y\le x\le(B-y)/D$ であり、回転後は外半径 $\log y$、内半径 $(y-B)/D$ の円環となる。 従って体積 $V$ は $$\displaystyle \begin{aligned} V &=\pi\int_1^B(\log y)^2\,dy +\pi\int_B^e\left\{(\log y)^2-\left(\frac{y-B}{D}\right)^2\right\}\,dy\\ &=\pi\int_1^e(\log y)^2\,dy -\frac{\pi}{D^2}\int_B^e(y-B)^2\,dy. \end{aligned}$$ 部分積分を2回行うと $$\displaystyle \int_1^e(\log y)^2\,dy =\left[y\{(\log y)^2-2\log y+2\}\right]_1^e=e-2.$$ また、$e-B=D$ より $$\displaystyle \frac1{D^2}\int_B^e(y-B)^2\,dy =\frac{(e-B)^3}{3D^2}=\frac D3.$$ 以上から $$\displaystyle \boxed{V=\pi\left(e-2-\frac D3\right) =\frac{\pi}{6}\left(5e+e^{-1}-12\right)}.$$