4岐阜大学 2018年 数学 第4問解答・解説

(1) $r=e^{a\theta}$ より $$x=e^{a\theta}\cos\theta,\qquad y=e^{a\theta}\sin\theta.$$

(2) 極座標の弧長要素は $ds=\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}\,d\theta$。$r'=ae^{a\theta}$ なので $$\displaystyle L=\int_0^\pi e^{a\theta}\sqrt{1+a^2}\,d\theta =\frac{\sqrt{1+a^2}}{a}(e^{a\pi}-1).$$

(3) 接線方向ベクトルは $$(x',y')=e^{a\theta}(a\cos\theta-\sin\theta,\ a\sin\theta+\cos\theta).$$ これに垂直なベクトルを用いると接線は $$(a\sin\theta+\cos\theta)x-(a\cos\theta-\sin\theta)y=e^{a\theta}.$$

(4) 動径方向とその垂直方向の単位ベクトルを $$\mathbf e_r=(\cos\theta,\sin\theta),\qquad \mathbf e_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta)$$ とする。曲線の接線方向ベクトルは $$\displaystyle \frac{dP}{d\theta}=r(a\mathbf e_r+\mathbf e_\theta)$$ である。したがって動径OPと接線のなす角は常に $\arctan(1/a)$ であり、Pによらず一定。

(5) $\arctan(1/a)=\pi/12$ とおけば $1/a=\tan(\pi/12)=2-\sqrt3$。よって $a=2+\sqrt3$。