1岐阜大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) 平方和の公式 $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{N}k^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ に $N=6n$ を代入すると $\displaystyle S(n)=\frac{6n(6n+1)(12n+1)}{6}=n(6n+1)(12n+1)=72n^3+18n^2+n$。

(2) この式で m と n の差をとると $S(m)-S(n)=72(m^3-n^3)+18(m^2-n^2)+(m-n)$ $=(m-n)\{72(m^2+mn+n^2)+18(m+n)+1\}$。 したがって $T(m,n)=72(m^2+mn+n^2)+18(m+n)+1$。

(3) $d=m-n$ とおくと、$m>n+1$ より $d\geq2$。自然数に0を含める場合も確認する。$n=0$なら$m\geq2$かつ$S(m)=2018$だが、Sは増加し、$S(2)=650<2018<S(3)=2109$ なので該当するmはない。したがって解があれば $n\geq1$ で、$m\geq n+2\geq3$。Tの式の各項は正で、$m\geq3,\ n\geq1$から $T(m,n)\geq72(3^2+3\cdot1+1)+18(3+1)+1=1009$。 一方 $dT=2018$ かつ d≧2 だから $T\leq1009$。よって $T=1009$、$d=2$ で、上の下限の等号条件から $m=3,\ n=1$ となる。実際、$S(3)-S(1)=3\cdot19\cdot37-1\cdot7\cdot13=2109-91=2018$ なので条件を満たす。答えは $(m,n)=(3,1)$。