3香川大学 2018年 数学 第3問解答・解説

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解答

方程式 $x^2-4x+1=0$ の解は $\alpha=2+\sqrt3$, $\beta=2-\sqrt3$ だから、$\alpha+\beta=4$, $\alpha\beta=1$ である。

(1) $$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=16-2=14, \qquad \alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=64-12=52.$$

(2) $S_n=\alpha^n+\beta^n$ とおく。各根は $x^2=4x-1$ を満たすので $$S_{n+2}=4S_{n+1}-S_n.$$ $S_0=2$, $S_1=4$ は偶数である。連続する2項が偶数なら漸化式から次項も偶数となるから、帰納法により全ての自然数 $n$ で $S_n$ は偶数である。

(3) $n\ge1$ では $0<2-\sqrt3=\beta<1$ より $0<\beta^n<1$。したがって $$S_n-1<S_n-\beta^n=\alpha^n<S_n.$$ $S_n$ は偶数整数なので $[\alpha^n]=S_n-1$ は奇数である。自然数に $0$ を含める場合も $[\alpha^0]=1$ は奇数。

高校範囲・方法: 解と係数の関係、漸化式と数学的帰納法、整数部分の定義を用いた。