1藤田医科大学 2018年 数学 第1問解答・解説

問題1

・ 底面の円の中心を原点とし，円柱の軸を $z$ 軸にとる。高さ $z$（$0\le z\le15$）で，中心から距離が $15$ 以下となる断面の半径は $\sqrt{225-z^2}$ である。ただし円柱の半径は $12$ なので，断面積は $0\le z\le9$ では $144\pi$，$9\le z\le15$ では $(225-z^2)\pi$ となる。したがって $$\displaystyle V=\pi\int_0^9 144\,dz+\pi\int_9^{15}(225-z^2)\,dz =\pi\left(1296+\left[225z-\frac{z^3}{3}\right]_{9}^{15}\right) =\pi(1296+468)=1764\pi.$$ よって解答欄は $1764$ である。

・ 商の微分法より $$\displaystyle f'(x)=\frac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2} =\frac{4}{(e^x+e^{-x})^2}.$$ $x=\log2$ では $\displaystyle e^x=2,\ e^{-x}=\frac12$ だから $$\displaystyle f'(\log2)=\frac{4}{(2+\frac12)^2}=\frac{16}{25}.$$

・ 有限な極限をもつには，分母が $0$ に近づくとき分子も $0$ に近づく必要がある。よって $$\sqrt{5a-4}-9=0,\qquad 5a-4=81$$ であり，$a=17$ である。このとき $x=5$ の近くで根号内は正であり，有理化すると $$\displaystyle \frac{\sqrt{17x-4}-9}{x-5} =\frac{17x-4-81}{(x-5)(\sqrt{17x-4}+9)} =\frac{17}{\sqrt{17x-4}+9} \longrightarrow \frac{17}{18}.$$

・ 分子分母に $1-i$ を掛けると $$\displaystyle \frac{1+(\sqrt2-1)i}{1+i} =\frac{\sqrt2}{2}+\left(\frac{\sqrt2}{2}-1\right)i.$$ 実部は正，虚部は負であり，偏角は $\displaystyle -\frac{\pi}{8}$（傾きが $\displaystyle 1-\sqrt2=\tan(-\frac{\pi}{8})$）である。したがってこの複素数の $n$ 乗が実数となる条件は $\displaystyle -\frac{n\pi}{8}$ が $\pi$ の整数倍となること，すなわち $8\mid n$ である。最小の正の整数は $8$ であり，解答欄は右詰めで $08$ とする。

・ $2018\equiv8\pmod {30}$ であり，$8^1,8^2,8^3,8^4$ の $30$ で割った余りは順に $8,4,2,16$ であり，$8^5\equiv8\pmod {30}$ だから，以後周期 $4$ で繰り返す。$2018\equiv2\pmod4$ より $$2018^{2018}\equiv8^{2018}\equiv8^2\equiv4\pmod{30}.$$ したがって余りは $04$ である。

・ $AB=AC=s$ とおき，$\displaystyle A=(0,0),\,B=(s,0),\,C=(-\frac{s}{2},\frac{\sqrt3s}{2})$ とする。$BD:DC=1:4$ より $\displaystyle D=\frac{4B+C}{5}=(\frac{7s}{10},\frac{\sqrt3s}{10})$ なので $$\displaystyle AD^2=\frac{49s^2+3s^2}{100}=\frac{13s^2}{25}.$$ 一辺 $AD$ の正三角形の面積は $\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}AD^2$，また $\triangle ABC$ の面積は $\displaystyle \frac12s^2\sin120^\circ=\frac{\sqrt3s^2}{4}$ である。よって面積比は $$\displaystyle \frac{\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{13s^2}{25}}{\frac{\sqrt3s^2}{4}}=\frac{13}{25}.$$

・ 座標による平行四辺形の面積公式から、面積は $$|14n-35m|=7|2n-5m|$$ である。非共線条件からこれは $0$ でない整数の $7$ 倍なので $7$ 以上である。$P=(1,3)$ とすれば $2n-5m=1$ となり非共線で面積は $7$。したがって最小値は $7$（解答欄は $07$）。

・ $\displaystyle F(x)=\frac{30x-32}{x+12}$ とおく。$2<x<16$ なら $$\displaystyle F(x)-2=\frac{28(x-2)}{x+12}>0,\qquad F(x)-16=\frac{14(x-16)}{x+12}<0.$$ $a_1=9$ なので，帰納的に $2<a_n<16$ がすべての $n$ で成り立つ。さらに $$\displaystyle \frac{a_{n+1}-16}{a_{n+1}-2} =\frac12\frac{a_n-16}{a_n-2}.$$ 初項では $\displaystyle \frac{a_1-16}{a_1-2}=-1$ だから， $$\displaystyle \frac{a_n-16}{a_n-2}=-\frac1{2^{n-1}},\qquad a_n=\frac{16\cdot2^{n-1}+2}{2^{n-1}+1}.$$ ゆえに $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}a_n=16$ である。

・ $a,b,c$ は正整数なので $2+3+5c\le40$，したがって $1\le c\le7$。各 $c$ に対して $$2a=40-5c-3b>0$$ となるには $\displaystyle 1\le b\le\left\lfloor\frac{38-5c}{3}\right\rfloor$ であり，右辺が偶数となる条件は $b\equiv c\pmod2$ である。各 $b$ から正整数 $a$ は一意に定まる。よって $$\begin{array}{c|rrrrrrr} c&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline \text{条件を満たす }b\text{ の個数}&6&4&4&3&2&1&1 \end{array}$$ となり，合計は $6+4+4+3+2+1+1=21$ 個である。

・ 定数項を加減しても共分散は変わらず，一方の変数を定数倍すると共分散もその定数倍になる。したがって $$\operatorname{Cov}(10A-5,\,11B-7) =10\cdot11\,\operatorname{Cov}(A,B) =110\cdot2.7=297.$$

$$\displaystyle \boxed{(1)\ 1764,\ (2)\ \frac{16}{25},\ (3)\ a=17,\ \frac{17}{18},\ (4)\ 08,\ (5)\ 04,\ (6)\ \frac{13}{25},\ (7)\ 07,\ (8)\ 16,\ (9)\ 21,\ (10)\ 297}$$