3藤田医科大学 2018年 数学 第3問解答・解説

問題3

球の中心を $C=(0,0,1)$ とする。直線 $AP$ の方向ベクトルと $A-C$ は $$v=P-A=(t,t^2+1,-2),\qquad w=A-C=(0,-1,1)$$ であり， $$|v|^2=t^4+3t^2+5,\qquad |w|^2=2,\qquad w\cdot v=-(t^2+3).$$

・ 直線上の点を $X=A+\lambda v$ とおく。$X$ が球面上にある条件は $$|X-C|^2=|w+\lambda v|^2=1,$$ すなわち $$(t^4+3t^2+5)\lambda^2-2(t^2+3)\lambda+1=0$$ である。この二次方程式の判別式を $D$ とすると $$\displaystyle \frac{D}{4}=(t^2+3)^2-(t^4+3t^2+5)=3t^2+4>0$$ であり，二次の係数 $t^4+3t^2+5$ も正である。よって任意の実数 $t$ について異なる2実根があり，直線 $AP$ と球面 $S$ は異なる2点で交わる。

・ 上の二次方程式の2根の差の絶対値は $$\displaystyle \frac{2\sqrt{3t^2+4}}{t^4+3t^2+5}.$$ 直線上でパラメータ $\lambda$ の差に対応する距離は $|v|$ 倍なので $$\displaystyle \ell(t)=2\sqrt{\frac{3t^2+4}{t^4+3t^2+5}}.$$ $u=t^2\ge0$ とおき $$\displaystyle g(u)=\frac{3u+4}{u^2+3u+5}$$ とすれば $\ell(t)=2\sqrt{g(u)}$ であり，$g(u)>0$ だから $\ell$ の増減は $g$ の増減と一致する。 $$\displaystyle g'(u)=\frac{-3u^2-8u+3}{(u^2+3u+5)^2}.$$ 分子の零点は $\displaystyle u=\frac13,-3$ であり，定義域 $u\ge0$ では $\displaystyle 0\le u<\frac13$ で正，$\displaystyle u>\frac13$ で負となる。したがって $\displaystyle u=\frac13$ で極大，端点 $u=0$ で極小となる。値を計算すると $$\displaystyle \ell(0)=2\sqrt{\frac45}=\frac{4\sqrt5}{5},\qquad \ell\left(\pm\frac1{\sqrt3}\right) =2\sqrt{\frac9{11}}=\frac{6\sqrt{11}}{11}.$$ よって極小値は $\displaystyle \frac{4\sqrt5}{5}$（$t=0$），極大値は $\displaystyle \frac{6\sqrt{11}}{11}$（$\displaystyle t=\pm\frac1{\sqrt3}$）である。なお $|t|\to\infty$ で $\ell(t)\to0$ なので，極小値は全域での最小値ではなく，全域での最小値は存在しない。

$$\displaystyle \boxed{(1)\ \text{任意の }t\text{ で異なる2交点をもつ},\quad (2)\ \text{極小値 }\frac{4\sqrt5}{5}\ (t=0),\ \ \text{極大値 }\frac{6\sqrt{11}}{11}\ (t=\pm\frac1{\sqrt3})}$$