3京都府立医科大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) $a$ を $\theta$ で表す

$A(1,0,0)$、$P(0,a,0)$ を通り $z$ 軸に平行な平面は、$xy$ 平面上の直線 $AP$ を $z$ 方向に延ばしたものである。直線 $AP$ の式は $ax+y=a$ なので

$$H:\ ax+y=a.$$

その法線ベクトルは $(a,1,0)$、$zx$ 平面の法線ベクトルは $(0,1,0)$ である。平面のなす鋭角 $\theta$ について

$$\displaystyle \cos\theta =\frac{|(a,1,0)\cdot(0,1,0)|}{\sqrt{a^2+1}} =\frac1{\sqrt{1+a^2}}.$$

ここで $a>0$、$0<\theta<\pi/2$ だから $\tan\theta>0$。従って

$$\displaystyle \tan^2\theta=\frac{1-\cos^2\theta}{\cos^2\theta}=a^2, \qquad \boxed{a=\tan\theta}.$$

(2) 円 $C$ の中心

球の中心 $O$ から平面 $H$ に下ろした垂線の足を $M$ とする。$M$ は法線方向にあるので $M=\lambda(a,1,0)$ とおける。これを平面の式に代入すると

$$\displaystyle a(\lambda a)+\lambda=a, \qquad \lambda=\frac{a}{1+a^2}.$$

従って円 $C$ の中心は

$$\displaystyle M=\left(\frac{a^2}{1+a^2},\frac{a}{1+a^2},0\right).$$

$a=\tan\theta$ を代入し、

$$\boxed{M=(\sin^2\theta,\ \sin\theta\cos\theta,\ 0)}.$$

(3) 円錐の体積の最大値

平面 $H$ と原点との距離、すなわち円錐の高さを $h$ とすると、法線方向の距離から

$$\displaystyle h=OM=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}=\sin\theta.$$

球の半径は $1$ であり、$C$ の中心は $O$ から距離 $h$ にある。直角三角形より円 $C$ の半径 $r$ は

$$\displaystyle r^2=1-h^2=\frac1{1+a^2}=\cos^2\theta.$$

$r>0$ なので $r=\cos\theta$。よって底面積は $\pi r^2$、高さは $h$ であり、

$$\displaystyle V=\frac13\pi r^2h =\frac{\pi a}{3(1+a^2)^{3/2}} =\frac{\pi}{3}\sin\theta\cos^2\theta.$$

$a>0$ として微分すると

$$\displaystyle V'(a)=\frac{\pi(1-2a^2)}{3(1+a^2)^{5/2}}.$$

分母は正であり、$0<a<1/\sqrt2$ では $V'(a)>0$、$a>1/\sqrt2$ では $V'(a)<0$。また

$$\displaystyle \lim\limits _{a\to0+}V=0,\qquad \lim\limits _{a\to\infty}V=0.$$

したがって $a=1/\sqrt2$ で最大となる。そのとき

$$\displaystyle V_{\max} =\frac{\pi}{3}\cdot \frac{1/\sqrt2}{(3/2)^{3/2}} =\boxed{\frac{2\pi}{9\sqrt3}}, \qquad \boxed{a=\frac1{\sqrt2}}.$$

使用解法・自己点検

- 垂直な平面の法線ベクトルで角度を求め、$a>0$ によって平方根の符号を確定。 - 平面への垂線の足を法線方向の点として求め、平面方程式へ代入。 - 球の半径、円の中心までの距離、円の半径を直角三角形で関係付けて円錐の体積を設定。 - $a>0$ 全域の導関数の符号と両端の極限を確認し、最大値を決定。

全3小問の過程を記載し、判読不能・入力矛盾は認めない。