1京都府立医科大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) （V提供の高校範囲座標モデルによる補足。）$\displaystyle \phi=\frac{1+\sqrt5}{2}$ とすると $\phi^2=\phi+1$。正二十面体の標準座標モデルとして、12頂点を $$(0,\pm1,\pm\phi),\qquad (\pm1,\pm\phi,0),\qquad (\pm\phi,0,\pm1)$$ と表す。符号を独立に選ぶので頂点は $4+4+4=12$ 個であり、各点の原点からの距離の二乗は $1+\phi^2$ で一定である。 代表頂点 $p=(0,1,\phi)$ から距離2にある頂点は $$(0,-1,\phi),\quad (\pm1,\phi,0),\quad (\pm\phi,0,1)$$ の5個である。最初の点との距離は2であり、残る4点について距離の二乗は $$1+(\phi-1)^2+\phi^2=4$$ となる。ここでは $(\phi-1)^2=2-\phi$ と $\phi^2=\phi+1$ を用いた。残る6頂点 $(0,1,-\phi),(0,-1,-\phi),(\pm1,-\phi,0),(\pm\phi,0,-1)$ までの距離の二乗は、順に $4\phi^2,\ 4+4\phi^2,\ 1+(1+\phi)^2+\phi^2,\ \phi^2+1+(\phi+1)^2$ で、いずれも4より大きい。座標の巡回置換 $(x,y,z)\mapsto(z,x,y)$ と各座標の符号反転はこの12点を保ち、距離も保つ。またこれらの操作で任意の頂点を $p$ に移せるので、どの頂点にも距離2の隣接頂点が5個ずつある。従って $V=12$、各頂点に集まる辺は5本であり、辺の両端を数えると $$\displaystyle E=\frac{12\cdot5}{2}=30.$$

以下、辺の長さを2、球の半径を $R$ とする。頂点 $A$ の隣の5頂点は、$A$ とその対頂点を結ぶ軸のまわりの対称性から、軸に垂直な平面上の正五角形をなす。その正五角形の外接円半径を $\rho$、$A$ からその平面までの距離を $u$ とする。正五角形の辺が2だから $$\displaystyle 2=2\rho\sin36^\circ,\qquad \rho=\frac{1}{\sin36^\circ}.$$ また $A$ と隣接頂点との距離も2なので $$u^2+\rho^2=4.$$ 正五角形の平面は球の中心から $R-u$ だけ離れ、同平面上の頂点は中心軸から $\rho$ だけ離れる。よって $$R^2=(R-u)^2+\rho^2,$$ したがって $2Ru=u^2+\rho^2=4$、$R=2/u$ である。ここで $c=\cos36^\circ$ とおくと、三倍角の公式と $\cos108^\circ=-\cos72^\circ$ より $$4c^3-3c=-(2c^2-1),\qquad (c+1)(4c^2-2c-1)=0.$$ $c>0$ なので $c=(1+\sqrt5)/4$、従って $\sin^2 36^\circ=(5-\sqrt5)/8$。よって $$\displaystyle \rho^2=\frac{8}{5-\sqrt5}=\frac{2(5+\sqrt5)}5,\qquad u^2=4-\rho^2=\frac{10-2\sqrt5}{5},\qquad R^2=\frac4{u^2}=\frac{5+\sqrt5}{2}.$$

(2) $C,D$ はそれぞれ $A,B$ と同一直線上で球面上の反対側にあるので、位置ベクトルを $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ とすれば $\boldsymbol c=-\boldsymbol a$, $\boldsymbol d=-\boldsymbol b$ である。従って4点は平面 $OAB$ 上にある。また $$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol b-\boldsymbol a=\overrightarrow{DC},\qquad \overrightarrow{BC}=-\boldsymbol a-\boldsymbol b=\overrightarrow{AD},$$ より $ABCD$ は平行四辺形である。さらに $|\boldsymbol a|=|\boldsymbol b|=R$ だから $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} =(\boldsymbol b-\boldsymbol a)\cdot(-\boldsymbol a-\boldsymbol b) =|\boldsymbol a|^2-|\boldsymbol b|^2=0.$$ 隣り合う辺が垂直なので、$ABCD$ は長方形である。

(3) 長方形の対角線 $AC$ は直径で $AC=2R$、また $AB=2$ である。三平方の定理より $$AD^2=AC^2-AB^2=4R^2-4=6+2\sqrt5=(1+\sqrt5)^2.$$ 長さは正だから $AD=1+\sqrt5$。

(4) 球 $Q$ の表面積は $$4\pi R^2=2\pi(5+\sqrt5).$$

(5) 1面の正三角形の面積は $\sqrt3$ である。中心 $O$ から1面に下ろした垂線の足を $H$ とし、$OH=r$ とする。正三角形の外接円半径は $2/\sqrt3$ なので、面に垂直な $OH$ と面内の頂点までの線分を使うと $$\displaystyle r^2=R^2-\left(\frac2{\sqrt3}\right)^2=\frac{7+3\sqrt5}{6}.$$ 中心から20面へ分けた20個の角錐は合同である。従って $$\displaystyle \operatorname{Vol}(X)=20\cdot\frac13\cdot\sqrt3\,r =\frac{20}{3}\sqrt{\frac{7+3\sqrt5}{2}} =\frac{10(3+\sqrt5)}3.$$

(6) 共通辺の中点を $M$ とする。球の中心から弦の中点に引いた線は弦に垂直だから $OM\perp AB$、また $AM=1$ より $$\displaystyle OM^2=OA^2-AM^2=R^2-1=\frac{3+\sqrt5}{2}.$$ 正三角形の面の中心から辺の中点までの距離は $\displaystyle MH=MK=\frac1{\sqrt3}$ であり、$OH=OK=r$。$OH,OK$ はそれぞれの面に垂直なので、三角形 $OMH,OMK$ は直角三角形である。これらは対応する辺の長さが等しいから合同で、$OM$ は $\angle HOK$ を二等分する。$\theta=\angle HOM$ とおくと $$\displaystyle \cos\theta=\frac{OH}{OM}=\frac r{OM},\qquad \cos(2\theta)=2\frac{r^2}{OM^2}-1=\frac{\sqrt5}{3}.$$ よって $$\displaystyle \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OK} =|OH||OK|\cos(2\theta) =r^2\frac{\sqrt5}{3} =\frac{15+7\sqrt5}{18}.$$

以上より、(1)は辺30本・頂点12個・各頂点に集まる辺5本、(3)は $1+\sqrt5$、(4)は $2\pi(5+\sqrt5)$、(5)は $\displaystyle \frac{10(3+\sqrt5)}3$、(6)は $\displaystyle \frac{15+7\sqrt5}{18}$ である。(2)は上記の通り長方形である。