1東邦大学 2007年 数学 第1問解答・解説

(1) 3桁の自然数を $\overline{abc}$ とする。$a\ge1$ なので $a'=a-1$ とおけば、$a',b,c$ は0以上の整数で $$a'+b+c=5$$ を満たす。この非負整数解の個数は、5個の同じものを3組に分ける場合の数 $$\displaystyle {}_7C_2=\frac{7\cdot6}{2}=21$$ である。各位はすべて9以下という条件も自動的に満たす。よって答えは21個である。

(2) 係数が実数の二次方程式なので、$\displaystyle \frac{4}{1-i}=2+2i$ が解なら、その共役 $2-2i$ も解である。よって $$\displaystyle \frac1{\alpha^3}+\frac1{\beta^3}=\frac1{(2+2i)^3}+\frac1{(2-2i)^3}.$$ $\displaystyle \frac1{2+2i}=\frac{1-i}{4}$、$\displaystyle \frac1{2-2i}=\frac{1+i}{4}$ であり、 $$\displaystyle \left(\frac{1-i}{4}\right)^3=\frac{-1-i}{32},\qquad \left(\frac{1+i}{4}\right)^3=\frac{-1+i}{32}.$$ したがって和は $\displaystyle -\frac{2}{32}=-\frac1{16}$ である。

(3) 余弦定理より $$\displaystyle \cos B=\frac{AB^2+BC^2-CA^2}{2\,AB\,BC} =\frac{12+6-(3+\sqrt3)^2}{2\cdot2\sqrt3\cdot\sqrt6} =\frac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}.$$ 加法定理から $\displaystyle \cos\frac{7\pi}{12}=\cos(\frac\pi3+\frac\pi4)=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$ である。三角形の内角は0と$\pi$の間にあり、この余弦値は負なので $\displaystyle B=\frac{7\pi}{12}$ である。

(4) 二つの放物線の頂点は、それぞれ $A=(-1,0)$、$B=(1,1)$ である。交点Cは $$\displaystyle x^2+2x+1=x^2-2x+2\quad\text{ならば}\quad x=\frac14,\qquad y=\left(\frac54\right)^2=\frac{25}{16}$$ より $\displaystyle C=(\frac14,\frac{25}{16})$ である。A、B、Cを通る放物線を $y=ux^2+vx+w$ とすると $$\displaystyle u-v+w=0,\quad u+v+w=1,\quad \frac{u}{16}+\frac{v}{4}+w=\frac{25}{16}.$$ 前二式から $\displaystyle v=\frac12$、$\displaystyle w=\frac12-u$ となる。これを第三式に代入すると $u=-1$、$\displaystyle w=\frac32$ を得る。したがってy軸との交点は $\displaystyle (0,\frac32)$ である。

(5) 与式を、tに依存する項と依存しない項に分けると $$y=x(x+a)^2+t\,x(x-2)(x-4)$$ となる。tの値によらず通る点では、tの係数 $x(x-2)(x-4)$ が0でなければならない。したがって定点のx座標は0、2、4であり、対応する点は $$(0,0),\quad (2,2(a+2)^2),\quad (4,4(a+4)^2)$$ である。これらが一直線上にある条件は、原点からの傾きが等しいこと、すなわち $$(a+2)^2=(a+4)^2$$ である。整理すると $4a+12=0$ より $a=-3$ である。

(6) A、B、Cはいずれも座標の和が20である。また $\overrightarrow{AB}=(-3,9,-6)$、$\overrightarrow{AC}=(-7,3,4)$ は比例しないので3点は一直線上にない。したがって、これらを通る平面は $$x+y+z=20$$ であり、$xy$ 平面との交線は $x+y=20,\ z=0$ である。この直線上の点を $P=(u,20-u,0)$ とすると $$PD^2=(u-11)^2+(15-u)^2+9=2(u-13)^2+17\ge17.$$ $u=13$ で等号となるから、最小値は $\sqrt{17}$ である。

(7) 行列積を直接計算すると $J^2=-E$ である。$(E+J)^n=u_nE+v_nJ$ とおくと $$(u_nE+v_nJ)(E+J)=(u_n-v_n)E+(u_n+v_n)J,$$ したがって $u_{n+1}=u_n-v_n$、$v_{n+1}=u_n+v_n$ である。$(u_1,v_1)=(1,1)$ から順に計算すると $$\begin{array}{c|rrrrrrrrr} n&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline u_n&1&0&-2&-4&-4&0&8&16&16\\ v_n&1&2&2&0&-4&-8&-8&0&16 \end{array}$$ となる。よって $(E+J)^9=16E+16J$ である。

(8) $s=\sqrt{x^2-2}$ とおく。対数の真数が正であるためには $x\ge\sqrt2$ であり、等号の場合は左辺が0なので、実際には $x>\sqrt2$ である。対数の差をまとめると $$\displaystyle \log_2\frac{x+s}{x-s}=3\quad\text{ならば}\quad \frac{x+s}{x-s}=8.$$ よって $9s=7x$ である。両辺を二乗して $$\displaystyle x^2-2=\frac{49}{81}x^2\quad\text{ならば}\quad x^2=\frac{81}{16}.$$ $x>0$ より $\displaystyle x=\frac94$。実際に $\displaystyle s=\frac74$ となり、真数の比は8で条件を満たす。

(9) $u=t+1$ とおけば $u\ne0$、$x=1/u$ であり、$t^2+2t+2=u^2+1$ である。したがって $$\displaystyle y=1-\frac1{u^2+1}=1-\frac{x^2}{1+x^2}=\frac1{1+x^2}.$$ $t$ が $-1$ 以外のすべての実数を動くと $x$ は0以外のすべての実数をとり、追加された点 $(0,1)$ により曲線全体は $\displaystyle y=\frac1{1+x^2}$ である。接線の傾きを $m(x)=y'$ とすれば $$\displaystyle m(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2},\qquad m'(x)=\frac{2(3x^2-1)}{(1+x^2)^3}.$$ 分母は正である。$m'(x)$ の符号を調べると、$m$ は $\displaystyle x=-\frac1{\sqrt3}$ で正の最大値をとる。値は $$\displaystyle m\left(-\frac1{\sqrt3}\right)=\frac{3\sqrt3}{8}.$$ $\displaystyle x=\frac1{\sqrt3}$ では同じ大きさの負値となり、$x\to\pm\infty$ では傾きは0に近づくので、これは全体の最大値である。

(10) $F(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$ とおく。$0\le x\le1$ では対数の真数は正であり、微分すると $$\displaystyle F'(x)=\frac{1+x/\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac1{\sqrt{1+x^2}}.$$ したがって $$\alpha=F(1)-F(0)=\ln(1+\sqrt2).$$ よって $e^\alpha=1+\sqrt2$ である。