東邦大学 2007年数学第2問解答・解説

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1問題

東邦大学2007年度第2問

以下のヒにあてはまる式を解答用紙の該当する欄に記入せよ。途中の計算など余分な事項を記入してはいけない。 $\angle A$ を直角とする直角三角形 $ABC$ において， $CA=b,\ AB=c$ とする。また斜辺 $BC$ を $(n+1)$ 等分する点をそれぞれ $D_{1},D_{2},\ldots,D_{n}$ とする。このとき， $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{1}{n}\left((AD_{1})^{2}+(AD_{2})^{2}+\cdots+(AD_{n})^{2}\right)$ を $b$ と $c$ を用いて表すと $\boxed{\text{ヒ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

直角三角形を座標で表し、等分点の距離の二乗を求めた。平方和の公式で平均を有限nの式に整理してから極限をとった。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \boxed{\text{ヒ}=\frac{b^2+c^2}{3}}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

座標を $A=(0,0)$ 、 $B=(c,0)$ 、 $C=(0,b)$ とする。 $D_k$ は斜辺を等分する点なので、B側から数えると $\displaystyle D_k=\left(c\left(1-\frac{k}{n+1}\right),\ b\frac{k}{n+1}\right)\qquad(k=1,2,\ldots,n).$ したがって $\displaystyle (AD_k)^2=c^2\left(1-\frac{k}{n+1}\right)^2+b^2\left(\frac{k}{n+1}\right)^2.$ $n+1-k$ は $1,2,\ldots,n$ を並べ替えるので、 $\displaystyle \begin{aligned} \frac1n\sum\limits _{k=1}^n(AD_k)^2 &=\frac{b^2+c^2}{n(n+1)^2}\sum\limits _{k=1}^n k^2\\ &=\frac{b^2+c^2}{n(n+1)^2}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}6\\ &=(b^2+c^2)\frac{2n+1}{6(n+1)}. \end{aligned}$ よって $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac1n\sum\limits _{k=1}^n(AD_k)^2=\frac{b^2+c^2}{3}.$

この問題で使う考え方

座標による距離
総和記号と数列の和
数列の極限

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