3群馬大学 2012年 数学 第3問解答・解説

（1） $$\overrightarrow{AB}=(7-a,-a-1),\qquad \overrightarrow{AC}=(-a,-a).$$ 垂直条件より $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =(7-a)(-a)+(-a-1)(-a)=2a(a-3)=0.$$ $a\ne0$ より $a=3$。このとき $A=(5,4)$ なので $$\displaystyle [ABC]=\frac12 AB\cdot AC=\frac12\sqrt{4^2+(-4)^2}\sqrt{(-3)^2+(-3)^2}=12.$$

（2）$P,Q,R$ はそれぞれ $AB,BC,CA$ 上にある。内分比から $$\displaystyle \frac{AP}{AB}=\frac{n}{2(n+2)},\quad \frac{BP}{BA}=\frac{n+4}{2(n+2)},\quad \frac{BQ}{BC}=\frac{3}{n+3},\quad \frac{CQ}{CB}=\frac{n}{n+3},$$ $$\displaystyle \frac{CR}{CA}=\frac{n}{n+1},\qquad \frac{AR}{AC}=\frac{1}{n+1}.$$ $\triangle ABC$ は $\triangle APR,\triangle BPQ,\triangle CQR,\triangle PQR$ に分かれる。同じ頂点の角を用いた三角形の面積比より $$\displaystyle \frac{[APR]}{[ABC]}=\frac{n}{2(n+1)(n+2)},\quad \frac{[BPQ]}{[ABC]}=\frac{3(n+4)}{2(n+2)(n+3)},\quad \frac{[CQR]}{[ABC]}=\frac{n^2}{(n+1)(n+3)}.$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=12\left(1-\frac{n}{2(n+1)(n+2)}-\frac{3(n+4)}{2(n+2)(n+3)}-\frac{n^2}{(n+1)(n+3)}\right)\\ &=\frac{24n}{(n+2)(n+3)}. \end{aligned}$$

（3） $$\displaystyle T_m=\sum\limits _{n=1}^m\frac{S_n}{n} =24\sum\limits _{n=1}^m\frac{1}{(n+2)(n+3)} =24\sum\limits _{n=1}^m\left(\frac1{n+2}-\frac1{n+3}\right) =24\left(\frac13-\frac1{m+3}\right).$$ よって $$\displaystyle \lim\limits _{m\to\infty}T_m=8.$$