1東海大学 2019年 2日目 数学 第1問解答・解説

(1) 各項は正であり，$\displaystyle \left(\frac23\right)^n\le \left(\frac13\right)^n+\left(\frac23\right)^n\le 2\left(\frac23\right)^n$ である。$n$ 乗根をとると $\displaystyle \frac23\le \sqrt[n]{(1/3)^n+(2/3)^n}\le \frac23\sqrt[n]{2}$。$\sqrt[n]{2}\to1$ だから，はさみうちの原理より極限は $\displaystyle \frac23$。　 (2) $BD=d$ とおく。円に内接する四角形の対角の和は $180^\circ$ なので，$\angle BAD=A$ と $\angle BCD=C$ は補角である。余弦定理より $\cos A=(4^2+5^2-d^2)/(2\cdot4\cdot5)=(41-d^2)/40$，$\cos C=(4^2+3^2-d^2)/(2\cdot4\cdot3)=(25-d^2)/24$。$\cos C=-\cos A$ より $d^2=31$，したがって $BD=\sqrt{31}$。このとき $\cos A=1/4$ なので $\sin A=\sqrt{15}/4$，また $\cos C=-1/4$ なので $\sin C=\sqrt{15}/4$。四角形の面積は2三角形の面積の和であり，$\displaystyle [ABCD]=\frac12\cdot4\cdot5\cdot\frac{\sqrt{15}}4+\frac12\cdot4\cdot3\cdot\frac{\sqrt{15}}4=4\sqrt{15}$。　 (3) $n\ge5$ なら $n!$ は10の倍数なので一の位は0である。したがって求める一の位は $1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33$ の一の位，すなわち3。　 (4) 位置ベクトルを $\boldsymbol a=\overrightarrow{OA}$ などとすると，$\overrightarrow{OG}=(\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c)/3$。$|\boldsymbol a|^2=|\boldsymbol b|^2=|\boldsymbol c|^2=2$ かつ $|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2=|\boldsymbol a-\boldsymbol c|^2=3$ より，$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c=1/2$。よって $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OG}=(2+1/2+1/2)/3=1$。　 (5) 箱ひげ図から札幌の第1・第3四分位数はおよそ $8.5^\circ$C，$16.5^\circ$C なので四分位範囲は約 $8^\circ$C で10℃以下である。横浜は第1・第3四分位数がおよそ $19.5^\circ$C，$25^\circ$C で，四分位範囲は約 $5.5^\circ$C。したがって横浜の四分位範囲の方が小さい。中央値の差は10℃未満であり，札幌の第3四分位数と横浜の第1四分位数の差も5℃未満である。また，箱ひげ図から15℃超・25℃超の日数は特定できない。よって読み取れる記述はd,eである。