2東海大学 2019年 2日目 数学 第2問解答・解説

$C_1$ の $x=u$ における接線は $y=-x/u^2+2/u$（$u>0$）。また $C_2$ を $y=1/(x-1)-1$ と書き，$w=v-1$ とおくと，$x=v$ における接線は $y=-x/w^2+2/w+1/w^2-1$（$v>0, v\ne1$）である。傾きが等しい条件は $w=\pm u$。

$w=u$ のとき切片を等しくすると $1/u^2=1$ だから $u=1$。この接線は $y=-x+2$ で傾きは $-1$。$w=-u$ のとき切片を等しくすると $1/u^2-4/u-1=0$，すなわち $u^2+4u-1=0$。$u>0$ より $u=\sqrt5-2$ であり，対応する傾きと切片は $-1/u^2=-(9+4\sqrt5)$，$2/u=4+2\sqrt5$。傾きの大きい方から $l_1:y=-x+2$，$l_2:y=-(9+4\sqrt5)x+4+2\sqrt5$。

交点は $1/x=-(x-2)/(x-1)$ より $x^2-x-1=0$。$x>0$ だから $x=(1+\sqrt5)/2$，$y=1/x=(\sqrt5-1)/2$。$l_2$ と垂直な直線の傾きは $u^2=9-4\sqrt5$ なので，交点を通る直線は $y=(9-4\sqrt5)x+5-2\sqrt5$。$l_1$ は $C_2$ に $x=2$ で接し，接点は $(2,0)$。

面積を $\phi=(1+\sqrt5)/2$ として求める。$1\le x\le\phi$ では $C_1$ と $l_1$ の間，$\phi\le x\le2$ では $C_2$ と $l_1$ の間が囲まれた部分である。したがって$$\displaystyle S=\int_1^\phi\left(\frac1x-(2-x)\right)dx+\int_\phi^2\left(-\frac{x-2}{x-1}-(2-x)\right)dx.$$第1積分は $\phi^2/2-2\phi+\ln\phi+3/2$，第2積分は $\ln\phi+2/\phi-1/(2\phi^2)-3/2$ である。$\phi^2=\phi+1$，$1/\phi=\phi-1$ を用いて整理すると $\displaystyle S=2\ln\phi+\phi-5/2=2\ln\frac{1+\sqrt5}{2}+\frac{\sqrt5-4}{2}$。