1北里大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) 直線$l$は$y=(e-1)x$。$e^x-1$は下に凸なので、$0\le x\le1$で弦$l$が曲線の上にある。面積は $$\displaystyle \int_0^1\{(e-1)x-(e^x-1)\}\,dx=\frac{e-1}{2}-(e-2)=\frac{3-e}{2}.$$ 回転体の断面は外半径$(e-1)x$、内半径$e^x-1$の円環だから $$\displaystyle V=\pi\int_0^1\{(e-1)^2x^2-(e^x-1)^2\}\,dx.$$ ここで$\displaystyle \int_0^1(e^x-1)^2dx=(e^2-4e+5)/2$であり、従って $$\displaystyle V=\pi\left\{\frac{(e-1)^2}{3}-\frac{e^2-4e+5}{2}\right\}=\frac{\pi(-e^2+8e-13)}6.$$ 曲線と弦の位置関係から、半径差の二乗は区間内部で正であり、体積は正となる。

(2) 複素数を平面上の点とみなすと$A=(3,1), B=(2,3)$。$a=5,b=3$のとき$C=(5,3),D=(3,5)$なので$\overrightarrow{AC}=(2,2),\overrightarrow{AD}=(0,4)$。内積より $$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}}{|AC||AD|}=\frac8{(2\sqrt2)4}=\frac1{\sqrt2},$$ 従って$0\le\theta\le\pi$の条件から$\theta=\pi/4$。点$A,B$を通る直線は傾き$-2$で$y=-2x+7$だから、共線条件は$b=7-2a$。この条件のもとで $$\overrightarrow{AD}=(b-3,a-1)=(4-2a,a-1),\quad \overrightarrow{BD}=(b-2,a-3)=(5-2a,a-3).$$ 直交条件$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BD}=0$は $$(4-2a)(5-2a)+(a-1)(a-3)=5a^2-22a+23=0,$$ ゆえに$a=(11\pm\sqrt6)/5$。この二値は、共線条件下で点が一致する$a=2,3,7/3$のいずれでもないため、4点相異なる条件を満たす。

(3) $t=\sin x+\cos x$とおくと$t^2=1+\sin2x$。また範囲$-\pi/4<x<\pi/4$では$0<t<\sqrt2$で、$dt/dx=\cos x-\sin x>0$より$t$は$x$と一対一に対応する。従って $$\displaystyle f(x)=\frac{3+2(t^2-1)}t=2t+\frac1t.$$ $h(t)=2t+1/t$とすれば$h'(t)=2-1/t^2$なので、最小は$t=1/\sqrt2$で取り、その値は$2\sqrt2$。$t=\sqrt2\cos(x-\pi/4)$かつ$-\pi/2<x-\pi/4<0$だから$t=1/\sqrt2$のとき$x-\pi/4=-\pi/3$、すなわち$x=-\pi/12$。方程式$h(t)=k$が異なる二解をもつ条件は、最小値より上で、右側枝の終端極限値より下である。上端は$\displaystyle \lim\limits _{t\to\sqrt2-}h(t)=2\sqrt2+1/\sqrt2=5/\sqrt2$で、端点$t=\sqrt2$は含まれない。従って$2\sqrt2<k<5/\sqrt2$。

(4) 4種類の数字の3で割った余りは$0,0,1,2$。長さ$n$の列で余り1または2となる個数は対称性から等しい。余り0の個数を$a_n$とすると、全列数が$4^n$なので余り1,2の合計は$4^n-a_n$。次の桁を付けて余り0にする方法は、余り0の列に余り0の数字2通りを付けるか、余り1,2の列に対応する余り2,1の数字を付けることである。よって $$a_{n+1}=2a_n+(4^n-a_n)=a_n+4^n.$$ 初期値$a_1=2$から $$\displaystyle a_n=2+\sum\limits _{j=1}^{n-1}4^j=2+\frac{4^n-4}{3}=\frac{4^n+2}{3}.$$ 従って$a_3=22,a_4=86$。