3北里大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) 定義域は$x>0$であり、 $$\displaystyle f(x)=\frac1x-\log x,\qquad f'(x)=-\frac1{x^2}-\frac1x=-\frac{x+1}{x^2}<0.$$ 従って$f$は連続であり、xが大きくなると値は必ず小さくなる。また $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}f(x)=+\infty,\qquad \lim\limits _{x\to+\infty}f(x)=-\infty.$$ 中間値の定理により少なくとも一つの零点をもち、異なるxの値に対して同じ値をとらないので高々一つである。したがって零点$\alpha$はただ一つである。さらに$f(1)=1>0$、$f(e)=1/e-1<0$より$1<\alpha<e$。

(2) $y=c\log x$の$x=u>0$における接線は $$\displaystyle y=\frac{c}{u}x+c(\log u-1),$$ また$y=e^x$の$x=v$における接線は $$y=e^v x+e^v(1-v).$$ 共通接線では傾きが等しいので$m=c/u=e^v>0$、すなわち$c=mu$。切片も等しい条件を$m$で割ると $$u(\log u-1)=1-v,\qquad v=1+u-u\log u.$$ 従って、接点$u$に対応する$c$は $$c(u)=u e^v=u\exp(1+u-u\log u)\quad(u>0).$$ その対数$g(u)=\log c(u)=\log u+1+u-u\log u$を微分すると $$\displaystyle g'(u)=\frac1u-\log u=f(u).$$ (1)より$f(u)>0$は$0<u<\alpha$、$f(u)<0$は$u>\alpha$。従って$c(u)$は$u=\alpha$で最大となり、両端では $$\displaystyle \lim\limits _{u\to0+}c(u)=0,\qquad \lim\limits _{u\to+\infty}c(u)=0.$$ また$\alpha\log\alpha=1$より $$c(\alpha)=\alpha\exp(1+\alpha-\alpha\log\alpha)=\alpha e^\alpha.$$ よって実現する正の定数の範囲は$0<c\le\alpha e^\alpha$。逆にこの範囲内の任意の$c$は連続な$c(u)$の値として得られ、その$u$に対して上式で定めた$v$が共通接線を与える。