4佐賀大学 2018年 数学 第4問解答・解説

(1) 垂直条件 $P$ の $x$ 座標は正です。接線の傾きは $1/t$、原点と $P$ を結ぶ直線の傾きは $\log t/t$。垂直な2直線の傾きの積が $-1$ なので、$\log t=-t^2$ です。これから $0<t<1$ が分かります。

(2) 差の関数の増減 示す不等式の右辺から左辺を引いた $$\varphi(x)=-x^2+4x-3-2\log x$$ を考えます。$0<x<1$ で $$\displaystyle \varphi'(x)=-\frac{2(x-1)^2}{x}<0.$$ よって $\varphi$ は $x=1$ に向かって減少します。$\varphi(1)=0$ だから、区間内では $\varphi(x)>0$。これが求める厳密不等式です。

(3) 等比級数と下界 $0<t<1$ より $S$ は初項 $t$、公比 $t^2$ の無限等比級数で、$S=t/(1-t^2)$ です。したがって $f(t)=t,\ g(t)=1-t^2$ が使えます。

(2) の $x$ に $t$ を代入し、$\log t=-t^2$ を使うと $t^2+4t-3>0$。$t>0$ なので $t>\sqrt7-2$ です。関数 $S(t)=t/(1-t^2)$ は $$\displaystyle S'(t)=\frac{1+t^2}{(1-t^2)^2}>0$$ より $0<t<1$ で増加します。従って $$\displaystyle S(t)>S(\sqrt7-2)=\frac{4+\sqrt7}{6}>1.1,$$ 最後の不等式は $\sqrt7>2.6$（$2.6^2<7$）から従います。