3佐賀大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) $f(x)=xe^{-x}$ とおく。

$f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$ であるから，$f'(x)=0$ となるのは $x=1$ のときで，$x<1$ で $f'(x)>0$（増加），$x>1$ で $f'(x)<0$（減少）。よって $x=1$ で極大値 $\displaystyle f(1)=\dfrac{1}{e}$ をとる。

$f''(x)=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}=(x-2)e^{-x}$ であるから，$x<2$ で $f''(x)<0$（上に凸），$x>2$ で $f''(x)>0$（下に凸）となり，$x=2$ が変曲点で $\displaystyle f(2)=\dfrac{2}{e^{2}}$。

$f(0)=0$，$x>0$ では常に $f(x)>0$ であり，与えられた $\displaystyle\lim\limits _{x\to\infty}f(x)=0$ より，$x\to\infty$ で曲線は $x$ 軸に上から漸近する。$x\to-\infty$ では $f(x)=xe^{-x}\to-\infty$。

したがって，原点を通り，$x=1$ に極大点 $\displaystyle \left(1,\dfrac1e\right)$，$x=2$ に変曲点 $\displaystyle \left(2,\dfrac{2}{e^{2}}\right)$ をもち，$x\to\infty$ で $x$ 軸に漸近する山型の曲線となる（$x<0$ では単調増加で $-\infty$ へ向かう）。

(2) $\mathrm P(t,0)$，$\mathrm Q(t,f(t))$ は $x=t$ 上にあり，線分 $\mathrm{PQ}$ は $x$ 軸に垂直で長さ $f(t)=te^{-t}$（$0<t<4$ より $f(t)>0$）。$\mathrm R(4,0)$ も $x$ 軸上にあるから，$\mathrm{PR}$ の長さは $4-t>0$ で，これが底辺，$\mathrm{PQ}$ が高さとなる直角三角形である。ゆえに $$\displaystyle S_1(t)=\frac12\cdot(4-t)\cdot f(t)=\frac12\,t(4-t)e^{-t}.$$ (3) 直線 $\mathrm{OQ}$ は原点と $\mathrm Q(t,f(t))$ を結ぶから，その方程式は $$\displaystyle y=\frac{f(t)}{t}x=e^{-t}x\qquad(0\le x\le t).$$ $0<x<t$ のとき $e^{-x}>e^{-t}$（指数関数の単調減少性）であるから $$f(x)-e^{-t}x=x(e^{-x}-e^{-t})>0,$$ すなわち$0<x<t$ の範囲で曲線 $y=f(x)$ は線分 $\mathrm{OQ}$ より上にある（両端点 $x=0,t$ で一致）。したがって $$\displaystyle S_2(t)=\int_0^t\bigl(f(x)-e^{-t}x\bigr)\,dx=\int_0^t xe^{-x}\,dx-e^{-t}\int_0^t x\,dx.$$ 部分積分により $$\displaystyle \int_0^t xe^{-x}\,dx=\Bigl[-(x+1)e^{-x}\Bigr]_0^t=1-(t+1)e^{-t},$$ また $$\displaystyle e^{-t}\int_0^t x\,dx=e^{-t}\cdot\frac{t^{2}}{2}.$$ よって $$\displaystyle S_2(t)=1-(t+1)e^{-t}-\frac{t^{2}}{2}e^{-t}=1-\left(\frac{t^{2}}{2}+t+1\right)e^{-t}.$$ （$t\to0$ で $S_2(t)\to0$ となり，図形が退化する状況と整合する。）

(4) $(2),(3)$ より $$\displaystyle S(t)=S_1(t)+S_2(t)=\frac12t(4-t)e^{-t}+1-\left(\frac{t^{2}}{2}+t+1\right)e^{-t}.$$ $\displaystyle \dfrac12t(4-t)=2t-\dfrac{t^{2}}{2}$ であるから，$e^{-t}$ の係数をまとめると $$\displaystyle S(t)=1+e^{-t}\left[\left(2t-\frac{t^{2}}{2}\right)-\left(\frac{t^{2}}{2}+t+1\right)\right]=1+e^{-t}\bigl(t-t^{2}-1\bigr)=1-e^{-t}\bigl(t^{2}-t+1\bigr).$$ これを微分すると $$S'(t)=e^{-t}(t^{2}-t+1)-e^{-t}(2t-1)=e^{-t}\bigl[(t^{2}-t+1)-(2t-1)\bigr]=e^{-t}(t^{2}-3t+2)=e^{-t}(t-1)(t-2).$$ $e^{-t}>0$ より，$S'(t)$ の符号は $(t-1)(t-2)$ の符号と一致する。$0<t<4$ における増減表は次の通り。 $$\begin{array}{c|ccccccc} t & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 2 & \cdots & 4\\ \hline S'(t) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ S(t) & & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow & \end{array}$$ したがって $S(t)$ は $t=1$ で極大値 $$\displaystyle S(1)=1-e^{-1}(1-1+1)=1-\frac1e,$$ をとり，$t=2$ で極小値 $$\displaystyle S(2)=1-e^{-2}(4-2+1)=1-\frac{3}{e^{2}},$$ をとる。（数値検算：$S(1)\approx0.6321$，$S(2)\approx0.5940$ で，増減表の符号と整合する。）