関数を微分すると f′(x)=(−x2+3x−1)e−x,f′′(x)=(x−1)(x−4)e−x となる。f′(x)=0 の解を α=23−5,β=23+5 とおくと、f′ の符号は x<α で負、α<x<β で正、x>β で負である。したがって x=α で極小、x=β で極大となる。r=α,β は r2−3r+1=0 を満たすので f(r)=(r2−r)e−r=(2r−1)e−r. よって極小点は (α,(2−5)e−α)、極大点は (β,(2+5)e−β) である。また、f(x)=x(x−1)e−x より x 軸との交点は (0,0),(1,0)。x→−∞ では f(x)→+∞、与えられた極限から x→+∞ では f(x)→0 であり、x>1 では f(x)>0 である。
f′′(x)>0(x<1, x>4),f′′(x)<0(1<x<4) で符号が変わるから、変曲点は (1,0),(4,e412) である。以上の増減、凹凸、交点および極限を用いて概形を描く。
接点の x 座標を t とすると、接線は y=f′(t)(x−t)+f(t) であり、その y 切片は g(t)=f(t)−tf′(t)=t2(t−2)e−t. したがって、(0,a) を通る条件は a=g(t) である。a>0 となるには t>2 が必要であり、t>2 では g′(t)=−t(t−1)(t−4)e−t. ゆえに g は 2<t<4 で増加し、t>4 で減少する。また t→2+limg(t)=0、与えられた極限より t→+∞limg(t)=0 であり、最大値は g(4)=32e−4 である。従って 0<a<32e−4 なら接点の候補は 2<u<4<v を満たす二つの値 u,v、a=32e−4 なら t=4 の一つ、a>32e−4 なら候補なしとなる。
0<a<32e−4 の二つの候補から同じ直線が得られることはない。もし同じ直線の傾きを m とすると、f′(u)=f′(v)=m である。f′′<0 は 2<x<4、f′′>0 は x>4 で成り立つので、f′ は 2<x<4 で減少し、x>4 で増加する。従って u<x<v では f′(x)<m となり、 f(v)−f(u)=∫uvf′(x)dx<m(v−u). 一方、同じ直線が u,v で接するなら、その傾きは m であるから f(v)−f(u)=m(v−u) となる。これは矛盾であり、二つの接点候補は異なる接線を与える。よって接線がちょうど一本となるのは a=32e−4 の場合だけである。
このとき接点は t=4、接線は y=f′(4)(x−4)+f(4)=e−4(32−5x) である。0≦x≦1 では f(x)≦0<e−4(32−5x)。1<x<4 では f′′(x)<0 だから f′ は減少し、f′(x)>f′(4)。従って f(4)−f(x)=∫x4f′(s)ds>f′(4)(4−x), すなわちこの区間でもグラフは接線の下にある。ゆえに、求める図形は 0≦x≦4 における接線とグラフの間の部分であり、その面積は S=∫04{e−4(32−5x)−(x2−x)e−x}dx=88e−4−[−e−x(x2+x+1)]04=88e−4−(1−21e−4)=109e−4−1.
