4名古屋大学 2010年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }\text{整数 }n\text{ に対し }x=6n\text{ とおくと、}\quad y=\frac13(6n)^2+\frac12(6n)=12n^2+3n\text{（整数）}.\quad n\text{ の異なる値に対し }x=6n\text{ は異なるから、グラフ上に無限個の格子点がある。}\\[4pt]\text{(2) }(x_1,y_1),(x_2,y_2)\text{ を原点以外の異なる2格子点とする。グラフは関数のグラフなので }x_1\ne x_2\text{ であり、また }x_i=0\text{ なら }y_i=0\text{ となって原点だから }x_i\ne0.\\ r_i=\frac{y_i}{x_i}\text{（有理数）}\quad(i=1,2)\text{ とおくと、与式から }r_i=ax_i+b.\text{ よって}\quad a=\frac{r_1-r_2}{x_1-x_2}\text{（有理数）},\qquad b=r_1-ax_1\text{（有理数）}.\\ a,b\text{ の分母の公倍数である正整数 }D\text{ をとれば }Da,Db\text{（整数）}.\text{ 任意の }n\text{（整数）}\text{ に対して }x=Dn\text{ とおくと}\quad y=a(Dn)^2+b(Dn)=(Da)Dn^2+(Db)n\text{（整数）}.\\ n\ne0\text{ として異なる }n\text{ を選べば }x=Dn\text{ は相異なるので、原点以外にも無限個の格子点が存在する。}$$