千葉大学 2010年数学第5問解答・解説

二次関数微分・積分の考え数学と人間の活動（整数）場合の数と確率

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1問題

千葉大学2010年度第5問

放物線 $y = x^{2}$ と直線 $y = ax + b$ によって囲まれる領域を

$D = \{(x, y) \mid x ^ {2} \leq y \leq a x + b \}$

とし, D の面積が $\displaystyle \frac{9}{2}$ であるとする。座標平面上で, x 座標, y 座標が共に整数である点を格子点と呼ぶ。

(1) a = 0 のとき, D に含まれる格子点の個数を求めよ。

(2) a, b が共に整数であるとき, D に含まれる格子点の個数は, a, b の値によらず一定であることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

解説放物線と直線の差を頂点形式にし、 $H=b+a^2/4$ とおくと、囲まれた面積は $\displaystyle \int_{-\sqrt H}^{\sqrt H}(H-t^2)\,dt$ 。これが $9/2$ なので $H=9/4$ と定まる。

(1) $a=0$ とすると $b=9/4$ 。格子点は整数 $x=-1,0,1$ の縦列に限られる。各列で境界を含めて整数 $y$ を数えると3個、2個、2個で合計7個。

(2) $a,b$ が整数なら $a^2+4b=9$ から $a$ は奇数。よって $x-a/2$ は半整数で、許される値は $\pm1/2,\pm3/2$ の4つ。各縦列の高さは $9/4-(x-a/2)^2$ で、端点も整数なので、格子点数は高さに1を足した数となる。内側2列が各3個、両端が各1個で計8個。値は $a,b$ に依存しない。

答え (1) 7個。(2) 常に8個。

この問題で使う考え方

二次関数のグラフと頂点
定積分による面積
約数・倍数
和の法則

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