7千葉大学 2010年 数学 第7問解答・解説

$|\vec b|=|\vec c|=1$,　　 $\displaystyle \vec b\cdot\vec c=\frac12$. Aを原点にとると 　 $\displaystyle \vec G=\frac t3(\vec b+\vec c),\quad \vec M=\frac12(\vec b+t\vec c)$. 従って 　 $\displaystyle \vec{MC}=-\frac12\vec b+\left(1-\frac t2\right)\vec c$, 　　 $\displaystyle \vec{MG}=\left(\frac t3-\frac12\right)\vec b-\frac t6\vec c$. この2ベクトルの内積は $$\displaystyle \begin{aligned} \vec{MC}\cdot\vec{MG} &=\left(-\frac t6+\frac14\right)+\left(-\frac t6+\frac{t^2}{12}\right) +\left(-\frac{t^2}{12}+\frac t3-\frac14\right)=0. \end{aligned}$$ よって $\angle CMG=90^\circ$. また内積で長さの2乗を求めると $$\displaystyle \begin{aligned} |\vec{MC}|^2&=\frac14+\left(1-\frac t2\right)^2-\frac12\left(1-\frac t2\right)=\frac{t^2-3t+3}{4},\\ |\vec{MG}|^2&=\left(\frac t3-\frac12\right)^2+\left(\frac t6\right)^2-\frac t6\left(\frac t3-\frac12\right)=\frac{t^2-3t+3}{12}. \end{aligned}$$ ここで $Q=t^2-3t+3>0$ とおく。底辺と高さ（または三角比による面積公式）から 　 [$\triangle$ CGM]=$\displaystyle \frac12$|$\vec{MC}$| |$\vec{MG}$|$\sin$90^$\circ$=$\displaystyle \frac{\sqrt3}{24}$Q. 平方完成すると $\displaystyle [\triangle CGM]=\frac{\sqrt3}{24}\left(\left(t-\frac32\right)^2+\frac34\right)$. したがって $\displaystyle t=\frac32$ のとき最小で、最小面積は $\displaystyle \frac{\sqrt3}{32}$.