11千葉大学 2010年 数学 第11問解答・解説

数学確認 (1) 条件 (P) から $0<h<r$ では $$\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}h\le0,$$ $-r<h<0$ では $$\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}h\ge0.$$ 微分可能なら左右の極限は同じ $f'(a)$ なので $f'(a)=0$。

(2) 絶対値を外すと、$x<0$ では $-2x$、$0\le x<1$ では 0、$1\le x\le2$ では $(x-2)(x-4)$、$2\le x\le4$ では $1-(x-3)^2$、$x\ge4$ では $(x-2)(x-4)$。したがって $0<a<1$ は近傍で定数、$a=1$ は値 3 の近傍最大、$a=3$ は二次式の頂点で局所最大。$a<0$、$a=0$、$1<a<2$、$a=2$、$2<a<3$、$3<a<4$、$a\ge4$ はそれぞれ近傍により大きい値がある。求める集合は $0<a\le1$ または $a=3$ を満たす実数 $a$ 全体である。

(3) $f(x)=1\ (x\le0)$、$f(x)=0\ (x>0)$ とすれば、$a\ne0$ では十分小さい近傍で定数、$a=0$ では常に $f(x)\le f(0)=1$。全ての $a$ が (P) を満たすが、関数は非定数である。