1三重大学 2001年 数学 第1問解答・解説

(1) 方程式を整理すると $$-x^2-2x=-2(a+1)x+a^2 \quad\text{すなわち}\quad -(x-a)^2=0.$$ 従って、どの実数 $a$ に対しても唯一の解は $x=a$。

(2) $f$ の定義域の各部分で方程式を調べる。

$x<-2$ では $f(x)=0$。$a=-1$ なら $g(x)=1$ なので解はない。$a\ne-1$ なら候補は $$\displaystyle x=\frac{a^2}{2(a+1)}.$$ この候補が $x<-2$ となるのは $a<-1$ かつ $a\ne-2$ のときである（$a=-2$ では候補がちょうど $-2$）。

$-2\le x<0$ では(1)より候補は $x=a$ で、これが範囲に入る条件は $-2\le a<0$。

$x\ge0$ では $$x=-2(a+1)x+a^2,\qquad (2a+3)x=a^2.$$ この範囲に解がある条件は $a>-3/2$ であり、その解は $x=a^2/(2a+3)$ である（$a=0$ の場合も $x=0$ として含む）。

3つの範囲は互いに交わらず、各範囲の解は高々1つである。したがって3つの異なる解をもつ条件は、上の3条件が同時に成り立つこと、すなわち $$\displaystyle -\frac32<a<-1.$$

(3) この範囲では3つの解は $$\displaystyle \alpha=\frac{a^2}{2(a+1)},\qquad \beta=a,\qquad \gamma=\frac{a^2}{2a+3}$$ と置ける。よって $$\displaystyle \frac{a^6}{\alpha\beta\gamma} =2a(a+1)(2a+3)=4a^3+10a^2+6a.$$ これを微分すると $$12a^2+20a+6=2(6a^2+10a+3).$$ 導関数の零点は $(-5-\sqrt7)/6$ と $(-5+\sqrt7)/6$ であり、前者だけが $-3/2<a<-1$ の範囲に含まれる。導関数はこの点の左側で正、右側で負であるから、求める最大値を与えるのは $$\displaystyle a=\frac{-5-\sqrt7}{6}.$$