4三重大学 2001年 数学 第4問解答・解説

(1) $n=1$では $A=E+B=E+1\cdot B$ で成り立つ。nで成り立つと仮定すると、$B^2=O$を使って $A^{n+1}=A^nA=(E+nB)(E+B)=E+(n+1)B+nB^2=E+(n+1)B$。よって数学的帰納法で全ての正整数nに対して成り立つ。

(2) $M=\begin{pmatrix}7&-9\\4&-5\end{pmatrix}$ とおくと、M=E+N、$N=\begin{pmatrix}6&-9\\4&-6\end{pmatrix}$ である。積を計算すると $N^2=O$ なので(1)より $M^{2001}=E+2001N=\begin{pmatrix}12007&-18009\\8004&-12005\end{pmatrix}$。

(3) $C=\begin{pmatrix}5&2\\-8&-3\end{pmatrix}=E+U$、$D=\begin{pmatrix}7&3\\-12&-5\end{pmatrix}=E+V$ とおく。$U=\begin{pmatrix}4&2\\-8&-4\end{pmatrix},\quad V=\begin{pmatrix}6&3\\-12&-6\end{pmatrix}$ はそれぞれ二乗が零行列である。従って $C^p=E+pU=\begin{pmatrix}1+4p&2p\\-8p&1-4p\end{pmatrix}$、$D^q=E+qV=\begin{pmatrix}1+6q&3q\\-12q&1-6q\end{pmatrix}$。和を問題の行列に等しいとおくと、どの成分からも $2p+3q=18$ を得る。p,qは正の整数なので、q=2ならp=6、q=4ならp=3であり、それ以外の正整数qではpは正整数にならない。従って解は $(p,q)=(6,2),(3,4)$。