3三重大学 2001年 数学 第3問解答・解説

agraph{(1)} $\displaystyle A(x)=\frac12x^2-x-1$ とおくと、級数は初項1、公比 $-A(x)$ の無限等比級数である。収束条件は $|A(x)|<1$、すなわち $$\displaystyle -1<\frac12x^2-x-1<1.$$ 左側から $x(x-2)>0$、右側から $x^2-2x-4<0$ を得る。従って $$1-\sqrt5<x<0\text{ または }2<x<1+\sqrt5.$$ 端点では公比が $1$ または $-1$ となり収束しない。収束範囲内で和は $$\displaystyle f(x)=\frac1{1-(-A(x))}=\frac1{1+A(x)}=\frac2{x(x-2)}.$$

agraph{(2)} $\displaystyle u=3+\frac15\cos\theta$ とおくと $\displaystyle du=-\frac15\sin\theta\,d\theta$ である。また $\displaystyle \frac{14}{5}\le u\le\frac{16}{5}<1+\sqrt5$ だから $u$ は (1) の収束条件 $2<u<1+\sqrt5$ を満たす。よって $$\displaystyle \int f\!\left(3+\frac15\cos\theta\right)\sin\theta\,d\theta =-5\int f(u)\,du.$$ 部分分数分解 $$\displaystyle f(u)=\frac2{u(u-2)}=\frac1{u-2}-\frac1u$$ により、積分は $$\displaystyle -5\left(\log|u-2|-\log|u|\right)+C =5\log\frac{u}{u-2}+C.$$ $u$ を戻して $$\displaystyle \boxed{5\log\frac{15+\cos\theta}{5+\cos\theta}+C}.$$