2三重大学 2001年 数学 第2問解答・解説

単元・方法・テーマ

(1),(2),(3) 数学C「複素数平面」：実部・虚部に分けて実数倍条件を調べ、漸化式を実部と虚部の和・差に分解する。テーマは共役複素数を含む漸化式と一般項。

(1) $z=x+yi$、$\bar z=x-yi$ より $$2z+i\bar z=(2x+y)+(x+2y)i.$$ これが実数 $\lambda$ を用いて $\lambda z$ と表せるなら $$2x+y=\lambda x,\qquad x+2y=\lambda y.$$ 従って $$x(x+2y)=y(2x+y) \quad\text{より}\quad x^2-y^2=0,$$ ゆえに $y=x$ または $y=-x$。逆に $y=x$ なら $2z+i\bar z=3z$、$y=-x$ なら $2z+i\bar z=z$ で、どちらも $z$ の実数倍である。$z\ne0$ の条件のもとで答えは $$y=\pm x.$$

(2) 実部が1なので (1) より $z_1=1+i$ または $z_1=1-i$。前者では $$2z_1+i\bar z_1=3z_1,$$ また実数倍3を繰り返し適用するたびに同じ形が保たれるから $z_n=3^{n-1}z_1$。後者では $$2z_1+i\bar z_1=z_1,$$ よって各項が変わらず $z_n=z_1$。従って $$z_n= \begin{cases} 3^{n-1}z_1,&z_1=1+i,\\ z_1,&z_1=1-i. \end{cases}$$

(3) $w_n=u_n+v_ni$（$u_n,v_n$ は実数）とおくと $$2w_{n-1}+i\bar w_{n-1} =(2u_{n-1}+v_{n-1})+(u_{n-1}+2v_{n-1})i.$$ 従って $$u_n+v_n=3(u_{n-1}+v_{n-1}),\qquad u_n-v_n=u_{n-1}-v_{n-1}.$$ $w_1=3+i$ から $u_1+v_1=4$、$u_1-v_1=2$ なので $$u_n+v_n=4\cdot3^{n-1},\qquad u_n-v_n=2.$$ これらを足し引きして $$u_n=2\cdot3^{n-1}+1,\qquad v_n=2\cdot3^{n-1}-1.$$ ゆえに $$w_n=(2\cdot3^{n-1}+1)+(2\cdot3^{n-1}-1)i.$$