I慶應義塾大学 2002年 数学 第I問解答・解説

(1) あ・い・う

部分積分により $$\displaystyle \int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x$$ だから、 $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}x\sin x\,dx =\left[-x\cos x+\sin x\right]_0^{\pi/2}=1.$$ したがって、あは $1$。

数列の定義で $x=a_nt$ と置換する。初項 $a_1=a>0$ であり、$a_n>0$ なら積分の被積分関数も正だから帰納的に全項 $a_n>0$ である。積分区間は $\displaystyle 0\le t\le\frac{\pi}{2}$ に移るから、 $$\displaystyle \begin{aligned} a_{n+1} &=\frac{1}{2a_n}\int_0^{\pi/2}a_n\bigl(1+a_nt\sin t\bigr)\,dt\\ &=\frac{1}{2a_n}\left(\frac{\pi a_n}{2}+a_n^2\int_0^{\pi/2}t\sin t\,dt\right)\\ &=\frac{\pi}{4}+\frac{a_n}{2}. \end{aligned}$$ ここで $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ はこの一次漸化式の定数解である。よって $$\displaystyle a_{n+1}-\frac{\pi}{2} =\frac12\left(a_n-\frac{\pi}{2}\right).$$ 初項 $a_1=a$ から $$\displaystyle a_n-\frac{\pi}{2} =\frac{a-\pi/2}{2^{n-1}}, \qquad a_n=\frac{\pi}{2}+\frac{a-\pi/2}{2^{n-1}}.$$ したがって、いは $\displaystyle \frac{\pi}{2}+\frac{a-\pi/2}{2^{n-1}}$ であり、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=\frac{\pi}{2}.$$ よって、うは $\displaystyle \frac{\pi}{2}$。

(2) え・お

$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ とおくと、条件式は $$r^4=r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=r^2\cos2\theta.$$ $r>0$ なので $$r^2=\cos2\theta>0,$$ 従って $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$。

また $$(x+y)^2=r^2(\cos\theta+\sin\theta)^2 =\cos2\theta(1+\sin2\theta).$$ $x+y>0$ なので、$(x+y)^2$ を最大にすることは $x+y$ を最大にすることと同値である。 $t=\sin2\theta$ とおくと $0<t<1$、$\cos2\theta=\sqrt{1-t^2}$ だから、最大化する式は $$H(t)=(1+t)\sqrt{1-t^2}.$$ その導関数は $$\displaystyle H'(t)=\frac{1-t-2t^2}{\sqrt{1-t^2}} =\frac{(1+t)(1-2t)}{\sqrt{1-t^2}}.$$ 分母と $1+t$ は正なので、$H'(t)>0$ は $\displaystyle 0<t<\frac12$、$H'(t)<0$ は $\displaystyle \frac12<t<1$ である。したがって最大は $\displaystyle t=\frac12$、すなわち $$\displaystyle \sin2\theta=\frac12,\qquad 0<2\theta<\frac{\pi}{2} \quad\text{したがって}\quad \theta=\frac{\pi}{12}.$$ このとき $$\displaystyle r=\sqrt{\cos\frac{\pi}{6}}=\sqrt{\frac{\sqrt3}{2}}.$$ よって、えは $\displaystyle \sqrt{\frac{\sqrt3}{2}}$、おは $\displaystyle \frac{\pi}{12}$。

最終答案

- あ：$1$ - い：$\displaystyle \frac{\pi}{2}+\frac{a-\pi/2}{2^{n-1}}$ - う：$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ - え：$\displaystyle \sqrt{\frac{\sqrt3}{2}}$ - お：$\displaystyle \frac{\pi}{12}$

使用した解法

部分積分、変数置換、一次漸化式の解法、極座標表示、および一変数関数の増減を用いた。