東邦大学／2011年度／一般

東邦大学 2011年数学第2問解答・解説

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1問題

東邦大学2011年度第2問

表紙「解答用マークシートの記入方法」：各小問中のア、イウなどは特に指示がない限り数字（0〜9）、符号（−）、または文字（a,b,c,d）が入り、各記号はそのうち一つに対応する。分数は既約分数とし、符号は分子につける。根号内の自然数が最小となる形で答える。　以下の問に答えよ。解答は解答用マークシートに記入せよ（記入方法については、表紙の「解答用マークシートの記入方法」に従うこと）。　下図のような曲線 $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+4y^{\frac{2}{3}}=4\quad(x\geq0,\ y\geq0)$ を $C$ とする。以下の(1)〜(4)に答えよ。

右向きのx軸と上向きのy軸が原点Oで交わり、y軸に1、x軸に8が表示されている。第1象限に曲線Cが描かれ、y軸の1からx軸の8へ向かって下降している。

(1) $\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n\theta\,d\theta\ (n=1,2,3,\ldots)$ とおく。このとき、 $I_2$ の値は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\pi$ である。また、 $I_6$ と $I_4$ の間には、関係式 $\displaystyle I_6=\frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}I_4$ が成り立つ。

(2) 曲線 $C$ および $x$ 軸、 $y$ 軸に囲まれた図形の面積は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}\pi$ である。

(3) 曲線 $C$ の方程式について、 $y$ の導関数を $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ とする。 $x>0,y>0$ のとき、 $\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{1}{3}}\frac{dy}{dx}$ は一定の値 $\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}$ をとる。

(4) 曲線 $C$ 上の点で、第1象限内にある点を $P$ とする。また、点 $P$ における接線と $x$ 軸、 $y$ 軸との交点をそれぞれ $A,B$ とする。原点を $O$ で表したとき、三角形 $OAB$ の面積は点 $A$ の $x$ 座標が $\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$ のとき、最大値 $\boxed{\text{シ}}$ をとる。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \boxed{(1)\space{}\frac14\pi,\space{}\frac56;\quad (2)\space{}\frac34\pi;\quad (3)\space{}-\frac14;\quad (4)\space{}4\sqrt2,\space{}2}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

東邦大学 2011年度第2問

問題ID: MM-7d067300fe21-Q2

曲線の媒介変数表示

$x,y\geq0$ で $\displaystyle \frac{x^{2/3}}4+y^{2/3}=1.$ 従って $0\leq\theta\leq\pi/2$ を用いて $x^{2/3}=4\cos^2\theta,\qquad y^{2/3}=\sin^2\theta$ と置けるので、曲線全体は $x=8\cos^3\theta,\qquad y=\sin^3\theta$ と表せる。

(1)

$\displaystyle I_0=\int_0^{\pi/2}1\,d\theta=\pi/2$ 。 $n\geq2$ で部分積分すると境界項が0となり、 $\displaystyle \begin{aligned} I_n &=(n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}\theta\cos^2\theta\,d\theta\\ &=(n-1)(I_{n-2}-I_n). \end{aligned}$ よって $\displaystyle I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ 。従って $\displaystyle I_2=\frac12 I_0=\frac{\pi}{4},\qquad I_6=\frac56 I_4.$ **答え： $\displaystyle I_2=\frac14\pi,\ I_6=\frac56I_4$ 。**

(2)

第1象限で囲まれた面積を $S$ とする。媒介変数表示では $x$ は $\theta$ とともに $8$ から $0$ へ減少し、 $dx/d\theta=-24\cos^2\theta\sin\theta$ 。従って $\displaystyle \begin{aligned} S &=\int_0^{\pi/2}y\left(-\frac{dx}{d\theta}\right)d\theta\\ &=24\int_0^{\pi/2}\sin^4\theta\cos^2\theta\,d\theta\\ &=24(I_4-I_6). \end{aligned}$ 上の漸化式から $\displaystyle I_4=\frac34I_2=\frac{3\pi}{16}$ 、 $\displaystyle I_6=\frac56I_4=\frac{5\pi}{32}$ 。従って $\displaystyle S=24\left(\frac{3\pi}{16}-\frac{5\pi}{32}\right)=\frac34\pi.$ **答え： $\displaystyle \frac34\pi$ 。**

(3)

$x>0,y>0$ では曲線を微分でき、 $\displaystyle \frac23x^{-1/3}+\frac83y^{-1/3}\frac{dy}{dx}=0.$ 従って $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac14\left(\frac yx\right)^{1/3}, \qquad \left(\frac xy\right)^{1/3}\frac{dy}{dx}=-\frac14.$ **答え： $\displaystyle -\frac14$ 。**

(4)

$P=(8\cos^3\theta,\sin^3\theta)$ （ $0<\theta<\pi/2$ ）とする。接線の傾きは媒介変数表示を微分して $\displaystyle \frac{dy}{dx} =\frac{3\sin^2\theta\cos\theta}{-24\cos^2\theta\sin\theta} =-\frac{\sin\theta}{8\cos\theta}.$ $\displaystyle m=\frac{dy}{dx}$ 、 $A=(a,0)$ 、 $B=(0,b)$ とする。接線の点傾き式から $\displaystyle a=8\cos^3\theta-\frac{\sin^3\theta}{m} =8\cos^3\theta+8\sin^2\theta\cos\theta =8\cos\theta,$ $b=\sin^3\theta-m\,8\cos^3\theta =\sin^3\theta+\sin\theta\cos^2\theta =\sin\theta.$ 従って三角形の面積は $\displaystyle \frac12ab=4\sin\theta\cos\theta=2\sin2\theta\leq2,$ 等号は $\theta=\pi/4$ で成立する。このとき $\displaystyle a=8\cos\frac{\pi}{4}=4\sqrt2.$ **答え：点 $A$ の $x$ 座標が $4\sqrt2$ のとき、最大値は $2$ 。**

最終答案

$\displaystyle \boxed{(1)\ \frac14\pi,\ \frac56;\quad (2)\ \frac34\pi;\quad (3)\ -\frac14;\quad (4)\ 4\sqrt2,\ 2}$

使用解法

媒介変数表示、正弦積分の部分積分漸化式、媒介変数による面積積分、陰関数微分、接線の切片と三角関数の最大値を用いた。

issues

なし。

この問題で使う考え方

曲線の媒介変数表示
部分積分法
漸化式
曲線で囲まれた面積
置換積分法
合成関数の微分
三角関数の微分
曲線の接線

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