2富山大学 2021年 数学 第2問解答・解説

曲線の式は、$\cos\theta\ge0$ より $$y=\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2x\sqrt{1-x^2},\qquad 0\le x\le1.$$

agraph{(1) 凹凸と概形。}微分すると $$\displaystyle y'=\frac{2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}},\qquad y''=\frac{2x(2x^2-3)}{(1-x^2)^{3/2}}<0\quad(0<x<1).$$ したがって曲線は区間内部で上に凸（$y''<0$）である。$y'=0$ となるのは $x=1/\sqrt2$ で、このとき $y=1$。両端は $(0,0),(1,0)$ であり、$(1,0)$ では接線が鉛直になる。概形を同封の graph.svg に示す。

agraph{(2)(a) 交点。}交点は原点以外なので $x>0$ として $2x\sqrt{1-x^2}=px$ を $x$ で割る。$p>0$ より $$\displaystyle \sqrt{1-x^2}=\frac p2, \qquad \alpha=\sqrt{1-\frac{p^2}{4}}, \qquad \beta=p\sqrt{1-\frac{p^2}{4}}.$$

agraph{(2)(b) 面積比。}まず $$\displaystyle S_1=\int_0^1 2x\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac23.$$ $0<x<\alpha$ では $\sqrt{1-x^2}>\sqrt{1-\alpha^2}=p/2$ だから曲線が直線より上にあり、 $$\displaystyle S_2=\int_0^\alpha\left(2x\sqrt{1-x^2}-px\right)dx.$$ ここで $1-\alpha^2=p^2/4$ を用いると $$\displaystyle \int_0^\alpha 2x\sqrt{1-x^2}\,dx =\frac23\left(1-\left(1-\alpha^2\right)^{3/2}\right) =\frac23-\frac{p^3}{12},$$ ゆえに $$\displaystyle S_2=\frac23-\frac{p^3}{12}-\frac{p\alpha^2}{2} =\frac23-\frac p2+\frac{p^3}{24}.$$ 条件から $S_1/S_2=2/(2-p^2)$ なので $S_2=(2-p^2)/3$。両式を等しくして $$p^3+8p^2-12p=0.$$ $0<p<\sqrt2$ より正の根を選び、 $$\boxed{p=2\sqrt7-4}.$$