3富山大学 2021年 数学 第3問解答・解説

三角形 $OAB$ について $OA=8,\ OB=5,\ AB=7$。辺 $OA,OB$ を $n$ 等分して $P_k,Q_k$ をとり、直線 $AQ_k$ と $BP_k$ の交点を $R_k$ とする。$R_n$ は $AB$ の中点である。

(1) $\vec a=\overrightarrow{OA},\ \vec b=\overrightarrow{OB},\ r=k/n$ とおけば $P_k=r\vec a,\ Q_k=r\vec b$。$k<n$ では直線 $AQ_k$ 上の点を $(1-\lambda)\vec a+\lambda r\vec b$、直線 $BP_k$ 上の点を $\mu r\vec a+(1-\mu)\vec b$ と表せる。係数比較より $1-\lambda=\mu r,\ \lambda r=1-\mu$。後式から $\mu=1-\lambda r$ を前式に代入して $1-r=\lambda(1-r^2)$。$r<1$ なので $\lambda=\mu=1/(1+r)$。従って $$\displaystyle \overrightarrow{OR_k}=\frac{r}{1+r}(\vec a+\vec b) =\frac{k}{n+k}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).$$ $k=n$ では $R_n$ が $AB$ の中点なので同じ式となる。

(2) 余弦定理より $\vec a\cdot\vec b=(8^2+5^2-7^2)/2=20$、したがって $|\vec a+\vec b|^2=64+25+2\cdot20=129$。よって $$\displaystyle |\overrightarrow{OR_k}|=\frac{\sqrt{129}\,k}{n+k}.$$

(3) $x/(1+x)$ は $0\le x\le1$ の範囲で連続なので、各小区間の右端の値を用いた区分求積法から $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac1n\sum\limits _{k=1}^n|\overrightarrow{OR_k}| =\sqrt{129}\int_0^1\frac{x}{1+x}\,dx =\sqrt{129}(1-\ln2).$$

(4) 内積から $\displaystyle [OAB]=\frac12\sqrt{64\cdot25-20^2}=10\sqrt3$。係数を $(\vec a,\vec b)$ に関する座標で表せば、$P_k=(r,0),Q_k=(0,r),R_k=(c,c)$、ただし $c=r/(1+r)$。$\vec u=\overrightarrow{P_kQ_k}=-r\vec a+r\vec b,\ \vec v=\overrightarrow{P_kR_k}=(c-r)\vec a+c\vec b$ とする。$\displaystyle s_k=\frac12|\vec u||\vec v|\sin\phi$ と $\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos\phi$ から $$(2s_k)^2=|\vec u|^2|\vec v|^2-(\vec u\cdot\vec v)^2.$$ 内積値 $\vec a\cdot\vec a=64,\vec b\cdot\vec b=25,\vec a\cdot\vec b=20$ を代入すると $|\vec u|^2=49r^2,\ |\vec v|^2=129c^2-168rc+64r^2,\ \vec u\cdot\vec v=44r^2-39rc$。ゆえに $$\displaystyle (2s_k)^2=1200r^2(4c^2-4rc+r^2) =\frac{1200r^4(1-r)^2}{(1+r)^2}.$$ $0<r\le1$ なので平方根は正をとり、$s_k=10\sqrt3\,r^2(1-r)/(1+r)$。$r=1$ でも $R_n$ が $AB$ 上にあり $s_n=0$ と一致する。従って各小区間の右端の値を用いた区分求積法により $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac1n\sum\limits _{k=1}^n s_k =10\sqrt3\int_0^1\frac{x^2(1-x)}{1+x}\,dx.$$ 被積分関数は $-x^2+2x-2+2/(1+x)$ と変形できるため積分値は $2\ln2-4/3$。極限は $10\sqrt3(2\ln2-4/3)$。