1富山大学 2021年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \text{ }q(x)=x^2+x+2=(x+\tfrac12)^2+\tfrac74>0\text{ とおく。} g(x)=q(x)^2f'(x)=q(x)\cos x-(2x+1)\sin x. \text{ }R(x)=\frac{q(x)}{2x+1}\text{ とすると、}x\ge0\text{ で }R(x)>0\text{ であり、} R'(x)=\frac{2x^2+2x-3}{(2x+1)^2},\qquad 1-R'(x)=\frac{2x^2+2x+4}{(2x+1)^2}>0. \text{したがって }F(x)=\tan x-R(x)\text{ は }0<x<\pi/2\text{ および }\pi<x<3\pi/2\text{ で} F'(x)=\sec^2x-R'(x)>1-R'(x)>0\text{ を満たす。} \text{第1区間では }F(0)=-2<0,\ \lim\limits _{x\to\pi/2^-}F(x)=+\infty\text{ だから、}F(x)=0\text{ はただ1解 }\alpha\text{ をもつ。} \text{第2区間では }F(\pi)=-R(\pi)<0,\ \lim\limits _{x\to3\pi/2^-}F(x)=+\infty\text{ だから、ただ1解 }\beta\text{ をもつ。} \text{ }\pi/2<x<\pi\text{ では }q\cos x<0<(2x+1)\sin x\text{ より }g(x)<0;\ 3\pi/2<x<2\pi\text{ では }q\cos x>0>(2x+1)\sin x\text{ より }g(x)>0.\text{また }x=0,\pi,2\pi\text{ では }g(x)=q(x)\cos x\ne0\text{、}x=\pi/2,3\pi/2\text{ でも }g(x)=-(2x+1)\sin x\ne0.\text{よって }g(x)=0\text{ の解は }\alpha,\beta\text{ のちょうど2つ。} \text{ }f'(x)=g(x)/q(x)^2\text{ であり、上の単調性と各区間での符号から、}f\text{ は }0\le x\le\alpha\text{ の範囲で増加し、}\alpha\text{ から }\beta\text{ まで減少し、}\beta\text{ から }2\pi\text{ まで増加する。} f(0)=f(2\pi)=0,\quad f(\beta)<0,\quad f(\alpha)>0\text{ なので、区間全体の最大値は }M=f(\alpha). g(\alpha)=0\text{ より }q(\alpha)\cos\alpha=(2\alpha+1)\sin\alpha\text{。従って} M=\frac{\sin\alpha}{q(\alpha)}=\frac{\cos\alpha}{2\alpha+1}. \text{さらに }R(x)-1=\frac{x^2-x+1}{2x+1}>0\text{ だから }F(\pi/4)=1-R(\pi/4)<0.\text{ }F\text{ は }0<x<\pi/2\text{ で増加し }F(\alpha)=0\text{ なので }\alpha>\pi/4.\text{ゆえに} 0<\cos\alpha<\frac1{\sqrt2},\qquad 2\alpha+1>\frac{\pi+2}{2},\qquad M=\frac{\cos\alpha}{2\alpha+1}<\frac{1/\sqrt2}{(\pi+2)/2}=\frac{\sqrt2}{\pi+2}.$$