3山口大学 2021年 数学 第3問解答・解説

$c=\cos\theta$ とおく。$0<\theta<2\pi$ より $-1\le c<1$ である。$x>1$ に対して $$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x^2-2cx+1}}{x^2-1}$$ とおけば、求める方程式は $f(x)=a$ である。ここで $x^2-2cx+1=(x-c)^2+1-c^2>0$ なので、$f$ は $x>1$ で連続である。

微分すると $$\displaystyle f'(x)= \frac{(x-c)(x^2-1)-2x(x^2-2cx+1)} {\sqrt{x^2-2cx+1}(x^2-1)^2} =-\frac{x^3+3x-c(3x^2+1)} {\sqrt{x^2-2cx+1}(x^2-1)^2}.$$ $c<1$、$3x^2+1>0$、$x>1$ より $$x^3+3x-c(3x^2+1) >x^3+3x-(3x^2+1) =(x-1)^3>0.$$ したがって $f'(x)<0$ であり、$f$ は $x>1$ でxが大きくなると値は必ず小さくなる。