4北海道大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1)

$c=\pi/2$ とし、$g(x)=\sin(cx)-x$ とおく。$g(0)=g(1)=0$ であり、$0<x<1$ では $$g''(x)=-c^{2}\sin(cx)<0.$$ したがって $g'$ は減少し、$g$ は両端を結ぶ弦より区間内部で上にある。よって $g(x)>0$、すなわち $f(x)>x$ である。また $0<x<1$ なら $0<\sin(cx)<1$ だから $0<f(x)<1$。 $0<a_1=\alpha<1$ であり、$0<a_n<1$ なら $0<a_{n+1}=f(a_n)<1$ かつ $a_{n+1}=f(a_n)>a_n$。ゆえに帰納法により、すべての自然数 $n$ で $0<a_n<1$ かつ $a_{n+1}>a_n$。

(2)

$\displaystyle u_n=\frac{\pi}{2}(1-a_n)$ とおくと $\displaystyle 0<u_n<\frac{\pi}{2}$ であり、(1)より $u_{n+1}<u_n$。余角の関係から $$\displaystyle b_n=\frac{1-\sin(\pi a_n/2)}{1-a_n} =\frac{\pi}{2}\Phi(u_n),\qquad \Phi(u)=\frac{1-\cos u}{u}.$$ $\displaystyle 0<u<\frac{\pi}{2}$ に対し $$\displaystyle \Phi'(u)=\frac{u\sin u-(1-\cos u)}{u^{2}} =\frac{\sin u}{u^{2}}\left(u-\tan\frac{u}{2}\right).$$ $q(u)=u-\tan(u/2)$ とおけば $q(0)=0$ であり、$\displaystyle 0<u<\frac{\pi}{2}$ では $$\displaystyle q'(u)=1-\frac12\sec^{2}\frac{u}{2}>0,$$ なぜなら $0<u/2<\pi/4$ より $\sec^{2}(u/2)<2$ だからである。よって $q(u)>0$、したがって $\Phi'(u)>0$。$u_{n+1}<u_n$ と $\Phi$ の増加性から $b_{n+1}<b_n$。

(3)

(1)より $\{a_n\}$ は増加し、1より小さいので収束する。極限を $L$ とすると $L\geq\alpha>0$。$f$ の連続性と漸化式から $L=f(L)$。もし $L<1$ なら $0<L<1$ であり、(1)の $f(L)>L$ に矛盾する。ゆえに $L=1$、したがって $u_n\to0$。 $v\geq0$ では $v-\sin v\geq0$ である。実際、$h(v)=v-\sin v$ とおくと $h(0)=0$、$h'(v)=1-\cos v\geq0$。そこで $v=u_n/2$ とすれば $$\displaystyle 0<b_n=\frac{\pi}{2}\frac{1-\cos u_n}{u_n} =\frac{\pi}{2}\frac{2\sin^{2}(u_n/2)}{u_n} \leq\frac{\pi}{4}u_n\longrightarrow0.$$ よって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=1,\qquad \lim\limits _{n\to\infty}b_n=0.$$