2北海道大学 2020年 数学 第2問解答・解説

直線 $\ell$ は2点 $\displaystyle \left(\frac{1}{16},0\right)$,$\displaystyle \left(0,\frac{1}{9}\right)$ を通るので、切片形式から $$16x+9y=1$$ である。

(1) $x,y$ を整数とする。上の式を9を法として見ると $$7x\equiv1\pmod 9$$ となる。$7\cdot4\equiv1\pmod9$ より、$x=4+9k$（$k\text{ は整数}$）である。これを $16x+9y=1$ に代入すると $y=-7-16k$ を得る。逆にこの形の点はすべて直線上の格子点であるから、求める点は $$(x,y)=(4+9k,-7-16k)\quad(k\text{ は整数})$$ である。

(2) パラメータ $k$ の点と原点との距離の二乗を $$q(k)=(4+9k)^2+(-7-16k)^2=337k^2+296k+65$$ とする。隣り合う値の差は $$q(k+1)-q(k)=674k+633$$ である。$k\le -1$ ならこの差は負、$k\ge0$ なら正なので、$q(k)$ は整数 $k$ を $0$ に近づける間に減少し、$0$ から離れる側で増加する。従って最小は $k=0$ の $q(0)=65$ であり、$A=(4,-7)$。これ以外では負の側で最も近い $k=-1$ の値が $q(-1)=106$、正の側で最も近い $k=1$ の値は $q(1)=698$ だから、次に距離が小さい点は $B=(-5,9)$ である。よって $C=(x_A,y_B)=(4,9)$。

三角形の整数 $x$ 座標は $-5\le x\le4$ である。斜辺 $AB$ は $16x+9y=1$、上辺 $BC$ は $y=9$ なので、各整数 $x$ について $(1-16x)/9\le y\le9$ を満たす整数 $y$ を数える。最小の整数 $y$ とその列の点数は次の通り。 $$\begin{array}{c|rrrrrrrrrr} x&-5&-4&-3&-2&-1&0&1&2&3&4\\\hline \text{最小の整数 }y&9&8&6&4&2&1&-1&-3&-5&-7\\ \text{点数}&1&2&4&6&8&9&11&13&15&17 \end{array}$$ 従って内部および周上の格子点数は $$1+2+4+6+8+9+11+13+15+17=86$$ 個である。