2東海大学 2008年 数学 第2問解答・解説

(1) 約数の総和 $S(m)$

(i)

$p^n$ の正の約数は $1,p,\ldots,p^n$ なので、等比数列の和から $$\displaystyle S(p^n)=1+p+\cdots+p^n=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}.$$ 従って $\boxed{\text{ア}=p^{n+1}-1}$。

(ii)

$\gcd(a,b)=1$ なら、$ab$ の各正の約数は $a$ の約数 $u$ と $b$ の約数 $v$ の積 $uv$ とただ一通りに表せる。従って $$\displaystyle S(ab)=\sum\limits _{u\mid a}\sum\limits _{v\mid b}uv =\left(\sum\limits _{u\mid a}u\right)\left(\sum\limits _{v\mid b}v\right) =\boxed{S(a)S(b)}.$$

(iii)

$q=2^{n+1}-1$ は素数で、奇数だから $\gcd(2^n,q)=1$。よって (ii) と (i) より $$\begin{aligned} S(m) &=S(2^n)S(q) =(2^{n+1}-1)(1+q)\\ &=(2^{n+1}-1)2^{n+1} =2m. \end{aligned}$$ 従って $\boxed{\text{ウ}=2m}$。

(iv)

$m=2^i3^j5$ で各因子は互いに素なので、 $$\displaystyle \frac{S(m)}m =\frac{S(2^i)}{2^i}\frac{S(3^j)}{3^j}\frac{S(5)}5 =\left(2-\frac1{2^i}\right) \left(\frac32-\frac1{2\cdot3^j}\right)\frac65.$$ これが $3$ である条件を整理すると $$(2^{i+1}-1)(3^{j+1}-1)=5\cdot2^i3^j \quad\text{すなわち}\quad (2^i-3)(3^j-2)=5.$$ $i=1$ なら左辺は負なので不可能。$i\ge2$ なら両因子は正の整数である。積が素数 $5$ だから、因子の組は $(1,5)$ または $(5,1)$ に限られる。$(1,5)$ は $i=2$ と $3^j=7$ を要求し不可能。$(5,1)$ は $i=3,\ j=1$ を与える。候補 $i=3,\ j=1$ では $S(m)=S(2^3)S(3)S(5)=15\cdot4\cdot6=360=3\cdot120$ となり、実際に条件を満たす。従って条件を満たす最小（唯一）の値は $$\boxed{m=2^3\cdot3\cdot5=120}.$$

(2) 格子点の個数

$d=\gcd(m,n)$ とおく。直線 $AB$ は $$\displaystyle \frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$$ で表される。高さ $y=j$（$1\le j\le n-1$）の水平行で、三角形の内部にある格子点の個数を $\ell_j$ とする。内部点は $0<x<m(n-j)/n$ を満たす整数 $x$ なので、 $$\displaystyle \ell_j=\left\lceil\frac{m(n-j)}n\right\rceil-1.$$ $q_j=m(n-j)/n$ とすると $q_j+q_{n-j}=m$。両方が整数なら $\ell_j+\ell_{n-j}=m-2$。整数でない場合、二つの小数部分の和は $1$ なので、それぞれの切り上げの和は $m+1$ となり、$\ell_j+\ell_{n-j}=m-1$。従って $$\ell_j+\ell_{n-j}= \begin{cases} m-2,&q_j\text{ が整数},\\ m-1,&q_j\text{ が整数でない}. \end{cases}$$ $q_j$ が整数となるのは $n\mid mj$ のときである。$m=dm_0,\ n=dn_0,\ \gcd(m_0,n_0)=1$ と書くと、$n\mid mj$ は $n_0\mid j$ と同値である。$1\le j\le dn_0-1$ のうち $n_0$ の倍数は $d-1$ 個なので、そのような $j$ は $d-1$ 個である。全ての $j$ について足すと左辺は $2L$ になるので、 $$2L=(d-1)(m-2)+(n-d)(m-1) =(m-1)(n-1)-(d-1).$$ また、辺 $AB$ 上の格子点は両端を含め $d+1$ 個だから $N=d-1$。従って $$\boxed{2L+N=(m-1)(n-1)}.$$

境界の格子点は、辺 $OA$ の内部に $m-1$ 個、辺 $OB$ の内部に $n-1$ 個、辺 $AB$ の内部に $d-1$ 個あり、頂点が3個ある。ゆえに境界点の総数は $m+n+d$、すなわち $M=L+m+n+d$。従って $$\begin{aligned} 2M-N &=2L+2(m+n+d)-(d-1)\\ &=(m-1)(n-1)+2m+2n+2\\ &=\boxed{mn+m+n+3}. \end{aligned}$$ 二つの式を足すと $$2(L+M)=2mn+4,\qquad mn=L+M-2.$$ 三角形 $OAB$ の面積は $mn/2$ だから、 $$\displaystyle \boxed{\text{面積}=\frac{L+M-2}{2}}.$$

最終答案

$$\displaystyle \begin{aligned} (1)(i)&:\ p^{n+1}-1,& (1)(ii)&:\ S(a)S(b),\\ (1)(iii)&:\ 2m,& (1)(iv)&:\ 120,\\ (2)(i)&:\ (m-1)(n-1),& (2)(ii)&:\ mn+m+n+3,\\ (2)(iii)&:\ \frac{L+M-2}{2}. \end{aligned}$$

使用した解法

約数の和の等比数列、互いに素な整数の約数の積、素因数分解と因数分解、水平行ごとの格子点数の対称性、最大公約数による辺上の格子点数を用いた。