3昭和大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) $$2016=2^5\cdot3^2\cdot7.$$ 各正の約数は $2^i3^j7^k$（$0\leq i\leq5$、$0\leq j\leq2$、$0\leq k\leq1$）と表される。したがって約数の個数は $$(5+1)(2+1)(1+1)=36.$$ 約数の総和は指数ごとの等比和の積なので $$(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5)(1+3+3^2)(1+7) =63\cdot13\cdot8=6552.$$

(2) $t=ab$ とおくと $t>0$ であり、対数の性質から与式は $$\displaystyle \log_3\left\{\left(a+\frac3b\right)\left(b+\frac3a\right)\right\} =\log_3\left(\frac{(ab+3)^2}{ab}\right) =\log_3\left(t+6+\frac9t\right)$$ となる。底が $3>1$ なので、$\log_3 x$ は増加する。さらに $$\displaystyle t+\frac9t-6=\left(\sqrt{t}-\frac3{\sqrt{t}}\right)^2\geq0$$ より、括弧内は12以上である。等号は $t=3$、すなわち $ab=3$ のときに成り立ち、例えば $a=b=\sqrt3$ で実現する。よって最小値は $\log_3 12$ である。

(3) $s=\sin\theta$、$c=\cos\theta$ とおく。角の範囲から $s<0<c$ である。また $s+c=2/3$、$s^2+c^2=1$ より $$\displaystyle 2sc=(s+c)^2-(s^2+c^2)=\frac49-1=-\frac59, \qquad sc=-\frac5{18}.$$ さらに $$\displaystyle (c-s)^2=(c+s)^2-4sc=\frac49+\frac{10}{9}=\frac{14}{9}.$$ $c-s>0$ だから $c-s=\sqrt{14}/3$。ゆえに $$\displaystyle \cos^3\theta-\sin^3\theta=(c-s)(c^2+cs+s^2) =(c-s)(1+cs)=\frac{\sqrt{14}}3\cdot\frac{13}{18} =\frac{13\sqrt{14}}{54}.$$

(4) 加法定理より $$\sin3x+\sin2x+\sin x=\sin2x(2\cos x+1).$$ $0\le x\le\pi$ の範囲で符号が変わる点は $x=\pi/2$ と $x=2\pi/3$ であり、この積は $0<x<\pi/2$ または $2\pi/3<x<\pi$ のとき正、$\pi/2<x<2\pi/3$ のとき負である。原始関数を $$\displaystyle F(x)=-\frac13\cos3x-\frac12\cos2x-\cos x$$ とすると、$F'(x)=\sin3x+\sin2x+\sin x$。端点で $$\displaystyle F(0)=-\frac{11}{6},\quad F\left(\frac\pi2\right)=\frac12, \quad F\left(\frac{2\pi}3\right)=\frac5{12},\quad F(\pi)=\frac56.$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^\pi|\sin3x+\sin2x+\sin x|\,dx &=\left(F\left(\frac\pi2\right)-F(0)\right) -\left(F\left(\frac{2\pi}3\right)-F\left(\frac\pi2\right)\right) +\left(F(\pi)-F\left(\frac{2\pi}3\right)\right)\\ &=\frac73+\frac1{12}+\frac5{12}=\frac{17}{6}. \end{aligned}$$